模拟赛 2024.2.15 解题报告
USACO19DEC
A B 没什么意义
C. Tree Depth
题意：对一个排列 \(a_{1...n}\) 构建笛卡尔树，对 \(\forall i\in [1,n]\)，求：对于所有逆序对个数为 \(k\) 的排列 \(a\)，点 \(i\) 的深度（其到根节点的点数）之和，答案对 \(m\) 取模。
\(1\le n\le 300,\space 0\le k\le \frac {n(n-1)}2,\space 10^8\le m\le 10^9+9\)
逆序对个数为 \(k\) 的排列个数是容易求的，设 \(f[i,j]\) 表示前 \(i\) 个数逆序对个数为 \(j\) 的方案数，每次确定 \(a_{1...i-1}\) 中多少个数比 \(a_i\) 大，转移为 \(f[i,j]=\sum\limits_{k=0}^{i-1}f[i-1,j-k]\)。
考虑拆贡献，计算对于 \(i\)，\(j(j\not =i)\) 是他的祖先的方案数。
发现条件 \(a_i>a_j\)，且 \(i,j\) 之间的所有数字都要 \(>a_j\)。
那么 \(a_j\) 是这一段的最小值，考虑计算方案数，我们先在 \(a\) 中放一个 \(a_j\)。
然后放 \(i\sim j\) 这一段的其他数字，这个方案数可以通过上面的 dp 求。
最后是 \(i\sim j\) 之外的数字。放一个数字在前面，转移枚举后面多少个数比他小；放一个数字在后面，转移枚举前面多少个数字比他大。我们发现不管是前面还是后面放，枚举的数的范围是一样的，转移式都是一样的。
而且还发现上面的转移式其实相当于分组背包，第 \(i\) 组为 \(\{1,2,...,i-1\}\)，背包可以用 GF 来搞。设 \(F_i(x)=\sum\limits_j f[i,j]x^j\)，设 \(G_i(x)=\sum\limits_{j=0}^{i-1} x^j\)，有
设 \(i\sim j\) 这一段的长度 \(l=|i-j|+1\)，钦定 \(j<i\)（即 \(j\) 和这一段的其他数字没有产生逆序对），那么不难发现我们要求的东西就是
也就是 \([x^k]\frac{F_n(x)}{G_l(x)}\)，\(j>i\) 同理。预处理所有 \(l\) 的答案，由于数据范围很小，暴力递推就行。时间复杂度 \(O(nk)\).
