近期总结 2024.2.14

CF1083D The Fair Nut's getting crazy#

题意：$n$ 个数 $a_{1...n}$，选出两个区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$，满足

• $l_1<l_2\le r_1<r_2$

• 对于 $[l_2,r_1]$ 中每个数 $a_i$，$a_i$ 在 $[l_1,r_1]$ 和 $[l_2,r_2]$ 中出现次数都恰好 $1$ 次。

求方案数模 ${10}^9+7$。 $1\le n\le {10}^5,a_i\le |{10}^9|$

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考虑枚举 $r_1=i$。

设 $f[l_2]$ 表示可以选出来的最小的 $l_1$，$g[l_2]$ 表示可以选出来的最大的 $r_2$。

维护一个数 $p$，表示 $l_2$ 最小可以取到 $p$。

设 $a_{r_2}$ 的上一个与其相同的数为 $a_x$，下一个相同的数为 $a_y$。那么更新 $f[j]\leftarrow max(f[j],x+1),g[j]\leftarrow min(g[j],y-1)$。

答案为

$$\sum _{j=p}^{r_2}(j-f[j])(g[j]-i)$$

化一下

$$\sum _{j}j\cdot g[j]-i\sum _{j}j-\sum _{j}f[j]\cdot g[j]+i\sum _{j}f[j]$$

用线段树来做。

每次更新时，发现 $f$ 单调递减，$g$ 单调递增，二分 + 区间覆盖即可。

$O(n{\log }^{2}n)$.

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AGC031E Snuke the Phantom Thief#

题意：平面上有 $n$ 个点，每个点坐标 $(x_i,y_i)$，以及权值 $v_i$。选一些点，满足选出来的点的权值总和最大，但是有 $m$ 个限制，每个限制形如：

• 横坐标 $\le a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个

• 横坐标 $\ge a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个

• 纵坐标 $\le a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个

• 纵坐标 $\ge a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个

$1\le n\le 80,1\le x_i,y_i,a_i\le 100,1\le v_i\le {10}^{15},1\le m\le 320$

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网络流。

但是有四个限制，很不好处理。但是我们知道，如果只有横纵两个限制，可以转化为二分图的东西。

比如横坐标限制有两种，我们考虑转化，如果知道一共选择的点数 $k$，则 “横坐标 $\ge a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个” 的限制转为 “横坐标 $\le a_i$ 的点最少选 $b_i$ 个”。

枚举 $k$，然后发现 “横坐标 $\ge a_i$ 的点最多选 $b_i$ 个” 相当于横坐标第 $a_i+1\sim k$ 大的点的横坐标 $>a_i$。

分开横纵坐标，比如横坐标，算出第 $1\sim k$ 大的点的横坐标取值范围。

建立关于横坐标的点 $1\sim k$，对于 $i$，设其横坐标取值范围为 $[l,r]$，那么枚举 $n$ 个点中哪些满足条件，比如点 $j$，然后连一条边 $i\to j$，容量为 $1$，费用为 $0$。

纵坐标则 $j\to i$。为了保证一个点最多选一次，拆点，拆出来的两个点连边，容量为 $1$，费用为 $v_i$。

可以发现这样连边一定满足限制。

跑最大费用最大流，当最大流为 $k$ 时更新答案。

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CF720D Slalom#

题意：一个 $n\times m$ 的网格，有 $k$ 个矩形障碍，保证这些障碍不重叠，但可能接壤。

从 $(1,1)$ 走一条路径，每次只能向右或向上，把 $k$ 个矩形划分成两个集合，求有多少种可能的划分方法，模 ${10}^9+7$。

$3\le n,m\le {10}^6,1\le k\le {10}^5$

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一个直观的独特的方法。

注：下文认为横坐标为行的编号，纵坐标为列的编号。

考虑类似于 这题 的思想，我们计算 跨越在下面的矩形的集合上方的轮廓线个数，这样可以做到每个集合算一次。

例如

其特点是：每次从上到右的拐弯都会在与这条轮廓线接壤的矩形的左上角处。

因此，我们可以在每个矩形的左上角处做 dp，设 $f_i$ 表示从 $(1,1)$ 到矩形 $i$ 的左上角处的轮廓线个数。

转移枚举上一个矩形 $j$ 的左上角：

$$f_i=\sum _{j,\text{一定条件}}{f}_j$$

现在我们分析“一定条件”是什么，不难发现，从矩形 $j$ 的左上角拐弯后，轮廓线会在矩形 $j$ 的上面一行向左走，然后在矩形 $i$ 的左边一列向上走，条件就是走到的格子没有障碍。

考虑算出从矩形 $i$ 的左上角处开始，向下/向右一直走空格子，最远能走到的格子 $(a_i,b_i),(c_i,d_i)$，如下图

那么矩形 $j$ 上面的 $(c_j,b_j)\sim (c_j,d_j)$ 都是空格子，矩形 $i$ 左边的 $(a_i,b_i)\sim (c_i,b_i)$ 都是空格子。

我们可以理解为每个矩形都对应一个这样的“L 型”图形，因此 $j$ 能转移到 $i$ 的条件是这两个“L 型”图形有交，并且两个矩形的左上角格子不在同一行也不在同一列。

用式子表示，就是

$$a_i\le c_j<c_i\text{且}{b}_j<b_i\le d_j$$

这是二维偏序的形式。按 $b_i$ 排序，由于有 $d_j$ 的限制，每个决策 $j$ 贡献到后面的 $i$ 是从 $j+1$ 开始的一段，这个可以二分/优先队列处理。然后 $a_i\le c_j<c_i$ 可以直接用树状数组/线段树查询 $[a_i,c_i-1]$ 的和。

边界情况可以在网格下面增添一个矩形表示起点，在网格右边增添一个矩形表示终点。

最后一个问题：如何求 $a_i,b_i,c_i,d_i$？

首先 $b_i,c_i$ 是已知的，就是矩形左边一列和上面一行的编号。以 $a_i$ 为例，$d_i$ 类似。

我们要求的就是“从 $(c_i,b_i)$ 向下走，走到的第一个有障碍的格子的坐标”。考虑从前往后扫描线，并用 multiset 储存每个扫到的矩形对应的线段的上端点。每次先查询 $(c_i,b_i)$ 是否为空，若为空，查询 set 中 $c_i$ 的前驱即为所求。

时间复杂度 $O(k\log (n+m+k))$。。