模拟赛 2024.2.13 解题报告

场切两题，感动

A. 统计

原 AGC028D

题意：园上均匀分布着 \(2n\) 个点，把一对一对点两两匹配，匹配的两个点之间画一条线，线的连接和交叉使一些点连通。给出一些已有的固定的匹配边，求所有匹配情况的连通块数之和，摸 \(10^9+7\)。 \(1\le n\le 300\)

乱猜结论题。手玩 \(6\) 个点的情况，发现似乎可以枚举一个不包含 \(1\) 的区间，然后该区间和区间外的点不连通的方案数为贡献。

几乎每种情况都被计算了 连通块数 \(-1\) 次，我们只需要加上所有匹配方案数即可。

这是错误的。把 \(15\) 种情况画出来，发现对于一组匹配 \(1-2,3-4,5-6\)，他在 \([3,4],[5,6],[3,6]\) 被贡献，共 \(3\) 次，再加上最后的一共 \(4\) 次，多一次的原因是两个连通块合起来恰好是一个区间。

我们考虑为什么其他不会算多：正是因为其他情况的对应区间不能划分成两个不连通的子区间。设 \(f[i,j]\) 表示 \([i,j]\) 这个区间内的点不与区间外的点连通的方案数，\(g[i,j]\) 表示把 \([i,j]\) 这个区间不与区间外的点连通，且不能划分成两个不连通的子区间的方案数。

注意“不能”，考虑容斥，枚举 \([i,j]\) 中第一个可以划分的分界点 \(k\)，则：

\[g[i,j]=f[i,j]-\sum_{k=i}^j g[i,k]\cdot f[k+1,j] \]

然后 \(f[i,j]\) 直接统计一下就能求，时间复杂度 \(O(n^3)\)。

C. 狩猎

原题，有很多来源，比如 GDKOI2024PJ

题意：有 \(n\) 个怪，血量分别为 \(a_1,a_2,...,a_n\)，但是不知道每个怪对应哪个血量。你每次选择一个怪打他一下，一个血量为 \(x\) 的怪被打 \(x\) 次后会死亡，求最差情况下最少打多少次能打死 \(m\) 个怪。\(1\le n,m\le 2000\)

首先一个怪你不可能先打一下，然后去打别的怪，然后再回来打。要么打到一半停止，要么打完。

顺序是无关的，可以把 \(a_1,a_2,...,a_n\) 从小到大排序。

打一个怪时，我们打了 \(a_i\) 次后还没死，说明他的血量不可能是 \(a_{1...i}\)，我们可以通过这样来检验他的血量。

打一个怪之前，我们定一个“检验标准”，设为 \(a_x\)，打 \(a_x\) 后如果还没打死就放弃。

猜一个结论：我们打怪时，“检验标准”只会变小，不会变大。

比较直观，如果变大，是不是和之前的小的交换了更好？

设 \(f[i,j]\) 表示 \(j\) 个怪，血量为 \(a_{1...j}\)，打死 \(i\) 个的答案。

枚举当前的“检验标准” \(a_k\)，最坏情况下我们先打血量为 \(a_{k+1...j}\) 的，然后打 \(a_k\) 的，则

\[f[i,j]=\min_{k=1}^j\{f[i-1,k-1]+a_k(j-k+1)\} \]

斜率优化，\(O(nm)\)。