近期总结 2024.2.9

CF1508D Swap Pass#

题意：平面上有 $n$ 个点，满足任意三点不共线。每个点有 $a_i$ 且构成 $1...n$ 的排列。每次执行一种操作：选择两个点 $i,j$，交换 $a_i,a_j$，然后在平面上点 $i,j$ 之间画一条边。求出一种让 $a_{1...n}$ 排序的操作方案，满足画出来的边两两不相交，但是可以交于一条边的端点。 $1\le n\le 2000$

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排序就是使得最终 $\mathrm{\forall }i,a_i=i$

考虑一个排列由若干个环组成。对于一个环，我们构造一种方案：

• 任意选择一个点 $s$

• 然后从 $s$ 指向的点开始，依次令 $s$ 与环上的点交换

显然，这样操作满足要求，且画出来是一个类似于菊花图的样子。

但是如果有多个环很不好处理，考虑两个不同环的点，我们交换他们，可以使他们所在的环合并成一个大环。

因此，我们尝试依次通过上述方法合并所有的环，最后直接操作这个环。

首先合并完后，我们仍然是选择一个点 $s$，然后连菊花图。

由于不能相交，这启示我们通过交换图上相邻两个点来合并环。

每个点按与 $s$ 的极角排序，然后每次判断相邻两个点是否在不同的环，然后逐一交换，最后连个菊花图。

时间复杂度 $O(n\log n)$，瓶颈在排序。

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CF704D Coptain America#

题意：平面上有 $n$ 个点，坐标为 $(x_i,y_i)$。每个点可以染成红色或蓝色，代价分别为 $r,b$。有 $m$ 条限制，每个限制为一条 $x=l$ 或 $y=l$ 的直线上，染红的点与染蓝的点数量之差的绝对值 $\le d$，求最小染色总代价。 $1\le n,m\le {10}^5$

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首先钦定 $r\le b$，我们先假设所有点染红，这是最小可能代价。

但是有限制，我们需要把一些点变色。发现每个限制都可以变为：一条线上的点变色数量必须在一个特定范围（一个区间）。

把行看作左部点，列看作右部点，就很像二分图最大匹配。唯一的区别是一个点能匹配多个，且匹配次数限制在一个区间。

转网络流，其实就是有源汇上下界最小流。

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CF1037H Security#

题意：给出一个字符串 $S$，有 $m$ 次询问。每次给出 $l,r$ 和字符串 $T$，问在 $S$ 中选取一个字典序最小的在 $[l,r]$ 中的子串，且字典序比 $T$ 大，求出这个子串。 $1\le |S|\le {10}^5,1\le m\le 2\times {10}^5,1\le \sum |T|\le 2\times {10}^5$，字符串都由小写字母组成

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考虑答案一定是 $T$ 的一段前缀，在加上比 $T$ 后面第一个字符大的一个字符，且满足这一段前缀尽量大。

建立 SAM，然后一步一步在 SAM 上走，每次走一个字符。

枚举前缀，枚举下一个字符，找到 SAM 上对应的结点，我们需要判断是否存在这样的字符串。假设有共 $i$ 个字符，存在的条件是有一个结尾位置在 $[l+i-1,r]$ 的串，直接在 parent tree 上线段树合并即可，时间复杂度线性对数。