近期总结2024.1.23

CF1097G Vladislav and a Great Legend#

题意：一棵有 $n$ 个点的树，设 $w(S)$ 为使点集 $S$ 连通的最小边数。给定 $k$，求 $\sum _S{w}^k(S)(\mathrm{mod}{10}^9+7)$。$1\le n\le {10}^5,1\le k\le 200$

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考虑第二类斯特林数：

$$\begin{array}{rl}\sum _S{w}^k(S)& =\sum _S\sum _{i=0}^{min(w(S),k)}(\genfrac{}{}{0ex}{}{w(S)}{i})\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\}i!\\ & =\sum _{i=0}^k\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i}\}i!\sum _S(\genfrac{}{}{0ex}{}{w(S)}{i})\end{array}$$

我们只需要求对于每个 $i$，$\sum _S(\genfrac{}{}{0ex}{}{f(S)}{i})$ 的值。

这个式子意思是对于所有的 $S$，选对应连通块中的 $i$ 条边的方案数，其实就是树上背包。

设 $f[u,i]$ 表示在 $u$ 子树中考虑了包含 $u$ 的所有连通块，选其中 $i$ 条边的方案数总和。

然后乱 DP 一波即可，根据经典结论，时间复杂度为 $O(nk)$。

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AGC030F Permutation and Minimum#

题意：给出 $n$，有一个 $1...2n$ 的排列 $a$，部分数字未知。现在将排列 $a$ 填完，设 $b_i=\underset{(}{min}{a}_{2i-1},a_{2i})$，问可以得到多少种不同的 $b$ 序列，模 ${10}^9+7$。 $1\le n\le 300$

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首先，若 $a_{2i-1}$ 和 $a_{2i}$ 都已知，那么 $b_i$ 可以直接确定，我们把这些位置扔掉。

那么 $a$ 中剩下的，对于位置 $2i-1$ 和 $2i$，对应的数字要么已确定、一个未知，要么都是未知。

由于 $b_i$ 的取值只和最小值有关，考虑把数字从大到小填入 $a$。填的过程中，可能有的数字已经确定位置，有的未确定，我们不可能把两个位置一确定的数放在同一组（一组定义为 $2i-1$ 和 $2i$）。

设 $f[i,j,k]$ 表示填了后 $i$ 个数字，这 $i$ 个数字中还未和其他数字匹配在一组的有 $j+k$ 个，其中 $j$ 个位置未确定，$k$ 个已确定。

转移先考虑这个数是否已确定。

若已确定，他有两种选择：

• 和一个更小的数字分在同一组：$f[i,j,k+1]\leftarrow f[i-1,j,k]$

• 和之前一个较大的数分在同一组，这个数是 $j$ 个中的一个：$f[i,j-1,k]\leftarrow f[i-1,j,k]$

若未确定，也有两种选择：

• 和一个更小的数字分在同一组：$f[i,j+1,k]\leftarrow f[i-1,j,k]$

• 和之前一个较大的未知位置的数分在同一组，设有两个未知数字的组，除去之前已占用的组个数为 $b$（可以算出来）：$f[i,j-1,k]\leftarrow f[i-1,j,k]\times b$

• 和之前一个较大的已知位置的数分在同一组：$f[i,j,k-1]\leftarrow f[i-1,j,k]$

时间复杂度 $O(n^3)$。

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CF516D Drazil and Morning Exercise#

题意：一棵树，$n$ 个点，有边权。对于点 $u$，设 $d_u=\underset{v}{max}\{\text{dist}(u,v)\}$。有 $q$ 次询问，每次给出一个 $k$，找一个连通块 $S$，满足 $\underset{u\in S}{max}\{d_u\}-\underset{u\in S}{min}\{d_u\}\le k$，求最大的 $|S|$。 $1\le n\le {10}^5,1\le q\le 50$

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考虑一棵树的“中心”，设其为点 $r$，满足 $d_r$ 是 $d_{1...n}$ 中最小的。类似于重心，我们可以证明 $d$ 最小的点至多有 $2$ 个。

以点 $r$ 为根，不难发现，对于点 $u(u\ne r)$，设其父亲为 $f$，总有 $d_u\le d_f$，一个点的祖先的 $d$ 总是 $\ge$ 他的 $d$。

考虑直接把树遍历一遍，扫到一个点 $u$ 时，通过二分得出他能贡献到的一条链，差分即可。

时间复杂度 $O(qn\log n)$，用双指针代替二分可以做到 $O(qn)$。

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CF1149D Abandoning Roads#

题意：一张无向连通图，有 $n$ 个点和 $m$ 条边，边权只有 $a,b$ 两种，对于每个 $1\le i\le n$，求所有可能的最小生成树中 $\text{dist}(1,i)$ 的最小值。

$1\le n\le 70,n-1\le m\le 200,1\le a<b\le {10}^7$

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删去所有的边权为 $b$ 的边，会剩下一些连通块，每条边权值都是 $a$。

显然，一个连通块内的点互相到达时，只能走权值为 $a$ 的边。

如果需要在多个连通块内互相到达，需要经过权值为 $b$ 的边。

可以用并查集来维护所有连通块，然后跑最短路。每次遍历一条边时，检查两点是否处于同一个连通块。仅仅如此，我们仍然无法保证“同一个连通块只走权值为 $a$ 的边”这个条件。

如图，按照上述的方式跑最短路，会经过右边的部分，经过两条权值为 $b$ 的边后又回到了原来的连通块，这样是错误的。

因此，为了防止回到原来的连通块，需要状态压缩记录经过的连通块编号，时间复杂度 $O(2^{n}nm\log m)$。

不难发现点数 $\le 3$ 的连通块无需考虑可能走回的情况，实际上只有 $\frac{n}{4}$ 个连通块需要记录，时间复杂度 $O(2^{\frac{n}{4}}nm\log m)$。

由于边权只有两种，可以开两个队列来 BFS，一个满足头尾 $\le a$，一个满足头尾 $\le b$，每次取两个队头中最小的，遍历权值为 $a$ 的边后加入第一个队列，$b$ 的加入第二个队列。

时间复杂度 $O(2^{\frac{n}{4}}m)$。