近期总结2023.10.15

ARC162D Smallest Vertices

题意：一棵外向树，根为 \(1\)，给出每个点的出度 \(d_i\)。求所有合法的树中，满足其是其子树中最小编号的点的个数总和。

\(1\le n\le 500\)

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考虑一个点的贡献次数。

枚举这个点 \(v\)，那么我们把 \(v+1...n\) 选若干个点作为 \(v\) 子树中的点，其余为子树外。

我们需要保证 \(v\) 子树内的点的总度数合法，即 总度数 \(=\) 总点数 \(-1\)。

考虑 \(\text{DP}\)，设 \(f[i,j,k]\) 表示考虑了点 \(i...n\)，选了 \(j\) 个点，度数总和为 \(k\)，这是一个背包的形式，可以把第一维压掉。

然后枚举子树内点数，剩下的就是 \(\text{Prufer}\) 序列的事了。

\(O(n^3)\)。

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CF1517F Reunion

题意：一棵树，每个点各有 \(\frac 12\) 的概率染白或染黑。求纯黑邻域最大半径的期望，模 \(998244353\)。

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考虑一个经典套路：枚举 \(L\)，求最大半径 \(\ge L\) 的概率，加起来就是期望。

\(\ge L\) 可以转化为 \(<L\)，即每个点在 \(L\) 距离内都至少有一个白点。或者说，一个白点覆盖距离他 \(\le L\) 的点，求所有点被覆盖的概率。

设 \(f[u,i]\) 表示点 \(u\) 子树全被覆盖，并且深度最浅的白点深度为 \(i(i\le L+1)\) 的概率；设 \(g[u,i]\) 表示点 \(u\) 子树中存在一个最深的深度为 \(i(i\le L)\) 的点未被覆盖的概率。

转移直接分四种讨论即可，\(O(n^3)\)。

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ARC153D Sum of Digits

题意：给出 \(n\) 个数 \(a_{1...n}\)，设 \(S(p)\) 为 \(p\) 的各位数字之和，求 \(\min\limits_x\{\sum\limits_{i=1}^n S(a_i+x)\}\)。

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考虑直接一位一位填 \(x\)。

枚举当前填第 \(i\) 位，填了 \(k\)，那么数位 \(\ge 10-k\) 的会被进位。

但是一些数字第 \(i-1\) 位可能也会进位，这时他们的限制为 \(\ge 9-k\) 会被进位。

设 \(f[i,j]\) 表示填了前 \(i\) 位，第 \(i\) 位进位的有 \(j\) 个数的答案。

尝试转移到 \(f[i+1,]\)，考虑经典方法，只有 由第 \(1...i\) 位组成的数 最大的 \(j\) 个会被进位，我们按照这个组成的数排序，那么第 \(n-j+1...n\) 个数会进位。

然后就是统计前缀后缀 \(\ge\) 特定值的数的个数，二维前缀和即可。

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AGC001F Wide Swap

题意：一个排列 \(P_{1...n}\)，交换 \(P_{i},P_j\) 的条件为 \(|i-j|\ge k\) 且 \(|P_i-P_j|=1\)，求经过若干次交换后可以得到的字典序最小的排列。

\(1\le n\le 5\times10^5\)

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注意到 \(|P_i-P_j|=1\) 这个限制很烦，考虑 \(P\) 的逆排列 \(Q\)（即 \(P_{Q_i}=Q_{P_i}=i\)），我们其实就是相当于交换 \(Q\) 中相邻两个绝对值之差 \(\ge k\) 的数。

套用 Luogu3243 菜肴制作 的结论，我们只需让 \(Q\) 翻转后的字典序最大即可。

考虑从后往前枚举依次填 \(Q\)，先思考如何填 \(Q_n\)。

一个数可填，那么他就可以通过相邻交换移到 \(n\)，因此条件为他比他后面的数都要大至少 \(k\)。

考虑拓扑排序，每个点 \(x\) 对 前面的数 \(\in[x+1,x+k-1]\) 连边。

用线段树维护入度数组，支持区间加、单点修改、查询最右边的最小值，\(O(n\log n)\)。

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