模拟赛10.11 解题报告

T1 染色#

题意：给出 $n$，造 $n$ 个 $\ge 1$ 的数 $a_{1...n}$，满足对于任意 $1\le i<j\le n$，若 $j-i$ 为质数，那么 $a_i\ne a_j$，最小化 $\underset{1\le i\le n}{max}\{a_i\}$。

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我们通过爆搜发现对于 $\ge 7$ 的 $n$，答案始终为 $4$，方案为 $1,2,3,4,1,2,3,4,1,...$，不难发现这种方案是正确的，因为没有质数是 $4$ 的倍数。

由于样例直接给出 $n=7$ 的情况，因此我们只需要大力分类 $n=1,2,3,4,5,6$ 的情况，$n\ge 7$ 直接输出即可。

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T2 序列#

题意：

$1\le T\le 5,1\le n\le {10}^9,1\le k,m\le 2\times {10}^5,1\le D\le {10}^{18},1\le a_i\le 5000$

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考场写了一个错解。

枚举 $min{b}_i$，然后贪心分配剩下的。

但是会超时，感性认为这是一个单峰函数，考虑直接二分。

被卡 $95pts$，听说三分可以过 $100pts$，果然三分的容错率就是比二分高。

正解咕着。

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T3 树上询问#

题意：一棵树，$q$ 次询问。每次给出 $u,v$，求从 $u$ 走到 $v$，有多少个点满足 点的编号 $=$ 走到这个点的步数。

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一眼 $\text{NOIP2016 TG}$ 天天爱跑步

考虑拆成 $u\to lca,lca\to v$ 两部分。

对于第一部分，需满足 $dep[u]-dep[x]=x\Rightarrow dep[x]+x=dep[u]$。

对于第二部分，需满足 $dep[u]+dep[x]-2\cdot dep[lca]=x\Rightarrow x-dep[x]=dep[u]-2\cdot dep[lca]$

把询问标记放到 $u,v,lca,fa(lca)$ 上，离线遍历一遍即可，时间复杂度为 $O(n+q)$，可以选择性带 $\log$。

T4 莫队#

题意：一个序列 $a_{1...n}$，支持两种操作：

• 1 x y 修改 $a_x\leftarrow y$。

• 2 l r 查询 $[l,r]$ 有多少个子区间满足数字两两不同。

$1\le n,q\le 2\times {10}^5,1\le a_i\le n$

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设 $d_i$ 为上一个 $=a_i$ 的数的位置。

设 $p_i=\underset{j\le i}{max}\{d_j\}$，不难发现，当 $i$ 作为右端点时，左端点可取 $[p_i+1,i]$，有 $i-p_i$ 种方案。

对于每个询问 $[l,r]$，我们可以找出一个分界点 $x$：

• 对于 $1\le i\le x$，满足 $p_i<l$。

• 对于 $x<i\le r$，满足 $p_i\ge l$。

第一部分的贡献为 $\frac{(l+x)(x-l+1)}{2}$，只与 $x$ 有关，容易处理。

第二部分的贡献为 $\sum _{i=x+1}^r(i-p_i)=\frac{(x+1+r)(r-x)}{2}-\sum _{i=x+1}^r{p}_i$，我们还需要求出 $x+1...r$ 的 $p$ 的区间和。

现在有三个问题：

• 动态修改，动态维护 $d_i$。

• 快速找出分界点 $x$

• 快速查询 $p$ 的区间和。

对于第一个问题，考虑在值域上搞，设 $S_i$ 表示 $a_j=i$ 的 $j$ 的集合。

修改 $a_x\leftarrow y$，我们需要在 $S_{a_x}$ 中删除 $x$，然后在 $S_y$ 中插入 $x$。

删除 $x$，我们找出 $S_{a_x}$ 中 $x$ 的后继 $nxt$，那么修改 $d_{nxt}\leftarrow d_x$。

插入 $x$ 后，找出 $S_y$ 中 $x$ 的前驱 $pre$ 和后继 $nxt$，那么修改 $d_x\leftarrow pre$，$d_{nxt}\leftarrow x$。

可以用 $\text{set}$，支持查找前驱后继。

对于第二个问题，我们考虑对 $d_{1...n}$ 建立线段树，然后一段前缀 $max$ 对于一个 $p_i$，可以在线段树上二分处理。

对于第三个问题，我们不禁想到经典题——Luogu4198 楼房重建，这里使用兔队线段树维护前缀最大值之和即可。

时间复杂度 $O(n+q{\log }^{2}n)$。