线段树维护区间历史版本和

问题#

一个数列，支持区间加、查询区间和、查询区间历史版本和。

解法一#

设 $t$ 为当前时间， $h_{i}$ 为 $a_{i}$ 的历史版本和，维护一个值 $c_{i} = h_{i} - t \cdot a_{i}$ 。

一个把 $[l, r]$ 加上 $v$ 的区间加操作，发现对于 $i \in [l, r], c_{i} \leftarrow c_{i} - t \cdot v$ （这里的 $t$ 是操作之前的时间）。于是 $c_{i}$ 也用区间加维护即可。

点击查看代码

struct SegmentTree
{
	ll tag[maxn*4],tagh[maxn*4],sum[maxn*4],sumh[maxn*4],t;
	void addtag(ll p,ll l,ll r,ll v1,ll v2)
	{
		sum[p]+=(r-l+1)*v1;
		sumh[p]+=(r-l+1)*v2;
		tag[p]+=v1;
		tagh[p]+=v2;
	}
	void pushdown(ll p,ll l,ll r)
	{
		ll mid=l+r>>1;
		addtag(p<<1,l,mid,tag[p],tagh[p]);
		addtag(p<<1|1,mid+1,r,tag[p],tagh[p]);
		tag[p]=tagh[p]=0;
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll v1,ll v2)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr)
		{
			addtag(p,l,r,v1,v2); return;
		}
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v1,v2);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v1,v2);
		sum[p]=sum[p<<1]+sum[p<<1|1];
		sumh[p]=sumh[p<<1]+sumh[p<<1|1];
	}
	void modify(ll l,ll r,ll v)
	{
		modify(1,1,n,l,r,v,-v*t);
	}
	ll query(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr) return sum[p]*t+sumh[p];
		if(qr<l||r<ql) return 0;
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		return query(p<<1,l,mid,ql,qr)+query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	}
	ll query(ll l,ll r)
	{
		return query(1,1,n,l,r);
	}
	void upd()
	{
		++t;
	}
}T;

解法二#

对于普通的区间加，直接维护区间加法标记、区间和 $t a g, s u m$ 即可。

每次操作完，考虑给全局打上一个“历史版本和更新标记”，即令 $a n s \leftarrow a n s + s u m$ ，设这个标记为 $u p d$ ，普通加法标记为 $a d d$ 。

线段树标记需要支持合并。对于两个标记队列 $q_{1}, q_{2}$ ，设 $q_{2}$ 中 $u p d$ 标记个数为 $c n t$ ，不难发现， $q_{1}$ 标记更新后的 $s u m$ 在 $q_{2}$ 中贡献了 $c n t$ 次，然后 $a n s$ 还需要加上 $q_{2}$ 中加法标记单独的贡献，也就是“加法标记的历史版本和”，设为 $t a g h$ 。于是我们只需要维护 $c n t, t a g h$ 即可代表一个标记队列。

维护三个标记 $t a g, c n t, t a g h$ 即可。

点击查看代码

struct SegmentTree
{
	ll tag[maxn*4],tags[maxn*4],tagh[maxn*4],sum[maxn*4],sumh[maxn*4],t;
	void addtag(ll p,ll l,ll r,ll v)
	{
		sum[p]+=(r-l+1)*v; tag[p]+=v;
	}
	void addtagh(ll p,ll l,ll r,ll s,ll v)
	{
		tags[p]+=s; sumh[p]+=sum[p]*s+(r-l+1)*v; tagh[p]+=tag[p]*s+v;
	}
	void pushdown(ll p,ll l,ll r)
	{
		ll mid=l+r>>1;
		addtagh(p<<1,l,mid,tags[p],tagh[p]);
		addtagh(p<<1|1,mid+1,r,tags[p],tagh[p]);
		addtag(p<<1,l,mid,tag[p]);
		addtag(p<<1|1,mid+1,r,tag[p]);
		tag[p]=tags[p]=tagh[p]=0;
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll v)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr)
		{
			addtag(p,l,r,v); return;
		}
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,v);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,v);
		sum[p]=sum[p<<1]+sum[p<<1|1];
		sumh[p]=sumh[p<<1]+sumh[p<<1|1];
	}
	void modify(ll l,ll r,ll v)
	{
		modify(1,1,n,l,r,v);
	}
	ll query(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr) return sumh[p];
		if(qr<l||r<ql) return 0;
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		return query(p<<1,l,mid,ql,qr)+query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	}
	ll query(ll l,ll r)
	{
		return query(1,1,n,l,r);
	}
	void upd()
	{
		addtagh(1,1,n,1,0);
	}
}T;

一个题#

$NOIP 2022$ 比赛

考虑离线询问，扫描线。

枚举 $r$ ，设 $f A [l], f B [l]$ 为 $max_{l \leq i \leq r} {A_{i}}, max_{l \leq i \leq r} {B_{i}}$ ，然后对于询问 $(L, R)$ ，右端点 $r = R$ 的答案为 $\sum_{l = L}^{r} f A [i] \cdot f B [i]$ 。

首先，更新 $f A, f B$ 的时间是 $O (n^{2})$ 的。考虑单调栈，于是我们只需要支持区间覆盖 $f A, f B$ 即可。

然后我们可以用线段树维护单个 $r$ 的贡献 $\sum_{l = L}^{r} f A [i] \cdot f B [i]$ 。

如果是 $r = L \to R$ ，可以考虑线段树维护这个 $[L, R]$ 区间的历史版本和。

维护历史版本和难以支持区间覆盖，考虑到单调栈比较特殊，可以把覆盖转化为区间加。

然后类似于解法二，我们需要维护这些标记。

发现对于两个标记队列 $q_{1}, q_{2}$ ，由于 $a n s = \sum s u m = \sum \sum_{i = l}^{r} f A [i] \cdot f B [i]$ ，这些 $f A [i], f B [i]$ 分为不是因 $q_{2}$ 中加法标记更新的和 $q_{2}$ 中加法标记更新的两部分，即 $\sum \sum_{i = l}^{r} (f A_{1} [i] + t a g A_{2}) (f B_{1} [i] + t a g B_{2})$ ，考虑拆开，四部分分别为 $f A_{1} [i] \cdot f B_{1} [i], f A_{1} [i] \cdot t a g h B_{2}, f B_{1} [i] \cdot t a g h A_{2}, t a g h A_{2} \cdot t a g h B_{2}$ ，其中 $t a g h A_{2}, t a g h B_{2}$ 为 $q_{2}$ 中 $A, B$ 加法标记的历史版本和。

设 $t a g h A B = t a g h A \cdot t a g h B$ ，那么合并后的 $t a g h A B^{'}$ 应为 $t a g h A B^{'} = \sum t a g A \cdot t a g B = t a g h A B_{1} + t a g A_{1} \cdot t a g h B_{2} + t a g B_{1} \cdot t a g h A_{1} + t a g h A B_{2}$ 。

于是维护六个标记 $t a g A, t a g B, c n t, t a g h A, t a g h B, t a g h A B$ 即可。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pr pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define mkp(a,b) make_pair(a,b)
#define pb push_back
#define ll long long
#define ull unsigned ll
using namespace std;
const ll maxn=3e5+10;
ll n,q,A[maxn],B[maxn],l,r;
ull ans[maxn];
vector<pr>vec[maxn];
struct SegmentTree
{
	ull tagA[maxn*4],tagB[maxn*4],sumA[maxn*4],sumB[maxn*4],sum[maxn*4],sumh[maxn*4],taghAB[maxn*4],taghA[maxn*4],taghB[maxn*4],cnt[maxn*4];
	void addtag(ll p,ll l,ll r,ll vA,ll vB)
	{
		sum[p]+=sumB[p]*vA;
		sumA[p]+=(r-l+1)*vA;
		tagA[p]+=vA;
	
		sum[p]+=sumA[p]*vB;
		sumB[p]+=(r-l+1)*vB;
		tagB[p]+=vB;
	}
	void addtagh(ll p,ll l,ll r,ll _taghA,ll _taghB,ll _taghAB,ll _cnt)
	{
		sumh[p]+=sum[p]*_cnt+sumA[p]*_taghB+sumB[p]*_taghA+_taghAB*(r-l+1);
		cnt[p]+=_cnt;
		taghA[p]+=tagA[p]*_cnt+_taghA;
		taghB[p]+=tagB[p]*_cnt+_taghB;
		taghAB[p]+=tagA[p]*tagB[p]*_cnt+tagA[p]*_taghB+tagB[p]*_taghA+_taghAB;
	}
	void pushdown(ll p,ll l,ll r)
	{
		ll mid=l+r>>1;
		addtagh(p<<1,l,mid,taghA[p],taghB[p],taghAB[p],cnt[p]);
		addtagh(p<<1|1,mid+1,r,taghA[p],taghB[p],taghAB[p],cnt[p]);
		addtag(p<<1,l,mid,tagA[p],tagB[p]);
		addtag(p<<1|1,mid+1,r,tagA[p],tagB[p]);
		tagA[p]=tagB[p]=taghA[p]=taghB[p]=taghAB[p]=cnt[p]=0;
	}
	void modify(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr,ll vA,ll vB)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr)
		{
			addtag(p,l,r,vA,vB); return;
		}
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		if(ql<=mid) modify(p<<1,l,mid,ql,qr,vA,vB);
		if(mid<qr) modify(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr,vA,vB);
		sum[p]=sum[p<<1]+sum[p<<1|1];
		sumA[p]=sumA[p<<1]+sumA[p<<1|1];
		sumB[p]=sumB[p<<1]+sumB[p<<1|1];
		sumh[p]=sumh[p<<1]+sumh[p<<1|1];
	}
	void modifyA(ll l,ll r,ll v)
	{
		modify(1,1,n,l,r,v,0);
	}
	void modifyB(ll l,ll r,ll v)
	{
		modify(1,1,n,l,r,0,v);
	}
	ll query(ll p,ll l,ll r,ll ql,ll qr)
	{
		if(ql<=l&&r<=qr) return sumh[p];
		if(qr<l||r<ql) return 0;
		pushdown(p,l,r);
		ll mid=l+r>>1;
		return query(p<<1,l,mid,ql,qr)+query(p<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
	}
	ll query(ll l,ll r)
	{
		return query(1,1,n,l,r);
	}
	void upd()
	{
		addtagh(1,1,n,0,0,0,1);
	}
}T;
ll stkA[maxn],topA,stkB[maxn],topB;
int main()
{
//	freopen("match.in","r",stdin);
//	freopen("match.out","w",stdout);
	scanf("%*lld%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",A+i);
	for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",B+i);
	scanf("%lld",&q);
	for(ll i=1;i<=q;i++)
	{
		scanf("%lld%lld",&l,&r);
		vec[r].push_back(mkp(l,i));
	}
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		while(topA&&A[stkA[topA]]<A[i])
		{
			T.modifyA(stkA[topA-1]+1,stkA[topA],-A[stkA[topA]]);
			--topA;
		}
		T.modifyA(stkA[topA]+1,i,A[i]);
		while(topB&&B[stkB[topB]]<B[i])
		{
			T.modifyB(stkB[topB-1]+1,stkB[topB],-B[stkB[topB]]);
			--topB;
		}
		T.modifyB(stkB[topB]+1,i,B[i]);
		T.upd();
		stkA[++topA]=i;
		stkB[++topB]=i;
		for(ll j=0;j<vec[i].size();j++)
		{
			ll k=vec[i][j].x, id=vec[i][j].y;
			ans[id]=T.query(k,i);
		}
	}
	for(ll i=1;i<=q;i++)
		printf("%llu\n",ans[i]);
	return 0;
}
</details>