一般图最大匹配——带花树算法
一般图最大匹配问题
题意：给出一张无向图，求出最大匹配的匹配数。\(1\le |V|,|E|\le 10^3\)
我们学过，二分图最大匹配有个算法——匈牙利算法，其主要思想就是枚举起点，不断寻找增广路，然后把找出的路径匹配状态取反，即可多出一个匹配。
当这个图存在奇环时，就不是二分图了，也就不能使用匈牙利算法。
容易发现，我们的增广路径不能经过奇环，否则就不符合匹配的条件了。
奇环的情况非常复杂，如果仍使用 \(\text{DFS}\) 的方法搜索增广路，我们不能保证时间复杂度——因为遇到奇环后不能简单地退出，奇环上的任意一点都可以成为向环外增广的点，时间复杂度可能会炸裂。
用 \(\text{BFS}\)，我们并不能简单判断搜到的路径是否走过一整个奇环。我们需要更强大的算法——带花树算法。
算法思想
采用 \(\text{BFS}\) 的方法。我们要先做没有奇环的情况，所以需要进行黑白染色。设 \(vis[u]\) 表示点 \(u\) 的状态，\(vis[u]=0\) 表示没有访问过，\(vis[u]=1/2\) 表示（黑/白）颜，设 \(mch[u]\) 表示 \(u\) 匹配的点色。根据匈牙利算法的思想，我们只需要把 \(vis[u]=1\) 的点 \(u\) 放进队列里搜索即可。当搜到一条边 \(u,v\) 满足 \(vis[u]=vis[v]=1\)，设 \(rt\) 表示 \(u,v\) 在搜索树上的 \(\text{LCA}\)，那么 \(rt-u-v-rt\) 形成了一个奇环。
此时我们搜的增广路径经过了这个奇环，设增光路从这个奇环出来的点为 \(x\)（从 \(x\) 搜出的必要条件为 \(vis[x]=1\)），不难发现，\(x\) 可以取所有点。对于黑点，结论显然成立；对于白点，我们显然可以从这个环的另一边走过来。
考虑把这个奇环上的点的 \(vis\) 全部改成 \(1\)，在队列里加入相应的点。记 \(pre[u]\) 表示搜索树上 \(u\) 的前驱（为了简便，我们只考虑 \(vis[u]=2\) 的 \(u\) 的前驱），我们求 \(\text{LCA}\) 和处理奇环上的点都可以暴力搞。
在更一般的情况，我们可能存在“奇环套奇环”的情况，考虑用一个并查集维护，设 \(d[u]\) 表示点 \(u\) 所在的奇环的 \(\text{LCA}\)（严格来说不是 \(\text{LCA}\)……，应该是环上最接近搜索起点的那个点），我们求 \(u,v\) 的 \(\text{LCA}\) 时，每次暴力跳可以先用并查集找到所在奇环的根。
为了简便处理更多情况，在一个奇环上，对于原来非匹配边上的两点 \(x,y\)，令 \(pre[x]=y,pre[y]=x\)（具体地……因为当 \(vis[u]=1\) 时我们没有把 \(pre[u]\) 赋值，所以可能会遇到 \(pre[u]=0\) 的情况，我们需要处理这种情况）。
综上，对于处理一个奇环，我们分为两部分：
-
找 \(u,v\) 在搜索树上的 \(\text{LCA}\)。
-
把奇环上的点的 \(pre\) 值处理一下，把 \(vis=2\) 的点加入队列并改为 \(1\)。
ll lca(ll u,ll v) //找 LCA
{
++T; //第 T 次找 LCA
u=find(u); v=find(v);
while(dfn[u]!=T)
{
dfn[u]=T; //跳过的点打标记
u=find(pre[mch[u]]);
if(v) swap(u,v); //u,v 轮流向上跳
}
return u;
}
void shrink(ll u,ll v,ll rt) //更新奇环上的点的信息
{
while(find(u)!=rt)
{
pre[u]=v; v=mch[u]; //更新 vis=1 的点的 pre 值
if(vis[v]==2) //把 vis=2 的点加入队列并改成 1
{
vis[v]=1; q[++r]=v;
}
if(find(u)==u) d[u]=rt; // 把奇环里面的点的并查集信息更新
if(find(v)==v) d[v]=rt;
u=pre[v];
}
}
除了处理奇环，当我们找到增广路后，暴力更新路径：
void aug(ll u)
{
ll tmp;
while(u)
{
tmp=mch[pre[u]];
mch[u]=pre[u]; mch[pre[u]]=u;
u=tmp;
}
}
总代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll maxn=1e5+10;
ll n,m,u,v,ans,head[maxn],tot,pre[maxn],mch[maxn],q[maxn],l,r,vis[maxn],d[maxn],dfn[maxn],T;
struct edge
{
ll v,nxt;
}e[maxn];
void insert(ll u,ll v)
{
e[++tot]=(edge){v,head[u]};
head[u]=tot;
}
ll find(ll x)
{
if(d[x]==x) return x;
return d[x]=find(d[x]);
}
ll lca(ll u,ll v)
{
++T;
u=find(u); v=find(v);
while(dfn[u]!=T)
{
dfn[u]=T;
u=find(pre[mch[u]]);
if(v) swap(u,v);
}
return u;
}
void shrink(ll u,ll v,ll rt)
{
while(find(u)!=rt)
{
pre[u]=v; v=mch[u];
if(vis[v]==2)
{
vis[v]=1; q[++r]=v;
}
if(find(u)==u) d[u]=rt;
if(find(v)==v) d[v]=rt;
u=pre[v];
}
}
void aug(ll u)
{
ll tmp;
while(u)
{
tmp=mch[pre[u]];
mch[u]=pre[u]; mch[pre[u]]=u;
u=tmp;
}
}
ll bfs(ll s)
{
for(ll i=1;i<=n;i++) pre[i]=vis[i]=0, d[i]=i;
q[l=r=1]=s; vis[s]=1;
while(l<=r)
{
ll u=q[l++];
for(ll i=head[u];i;i=e[i].nxt)
{
ll v=e[i].v;
if(vis[v]==0)
{
pre[v]=u;
if(!mch[v])
{
aug(v);
return 1;
}
else
{
vis[v]=2; vis[mch[v]]=1;
q[++r]=mch[v];
}
}
else if(vis[v]==1&&find(u)!=find(v))
{
ll rt=lca(u,v);
shrink(u,v,rt);
shrink(v,u,rt);
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%lld%lld",&u,&v);
insert(u,v);
insert(v,u);
}
for(ll i=1;i<=n;i++)
if(!mch[i]) ans+=bfs(i);
printf("%lld\n",ans);
for(ll i=1;i<=n;i++) printf("%lld ",mch[i]);
return 0;
}
