模拟赛8.19 解题报告

T1. 颠倒黑白

题意：给出一个 \(n\times m\) 的矩阵，每个数 \(\in\{0,1\}\)。两人游戏，每次选一个 \(1\) 的格子，然后把该格子所有左下角的数取反（包括自己），如果不能操作就输了。两个人都绝顶聪明，求谁能赢。多测，共 \(T\) 组数据。\(1\le Tnm\le10^7\)

神奇的构造式博弈。

考虑左下角角落的格子，若为 \(1\) 则先手胜利，否则后手胜利。

证明：

若左下角的格子为 \(1\)，那么先手必定可以操作这个格子。之后后手必须选择一个非左下角的格子操作，一轮之后左下角又变成了 \(1\)。因此先手必定可以一直选左下角，有必胜策略。

反之，先手必须选择一个非左下角的格子，之后左下角变成了 \(1\)，此时后手具有必胜策略。

这启示我们不刷构造题是非常痛苦的一件事。

T2. 糖果数

题意：求有多少个 \(n\) 位数至少存在连续的 \(3\) 个 \(1\)，允许有前导 \(0\)。\(1\le n\le10^{18}\)

一眼矩阵快速幂。

先容斥，算出不出现连续的 \(3\) 个 \(1\) 的数字个数。设 \(f[i,j]\) 表示填到了第 \(i\) 位，结尾是连续的 \(j\) 个 \(1\) 的方案数 \((0\le j\le 2)\)。那么：

\[f[i+1,0]\leftarrow 9\times(f[i,0]+f[i,1]+f[i,2]) \]

\[f[i+1,1]\leftarrow f[i,0] \]

\[f[i+1,2]\leftarrow f[i,1] \]

然后矩阵快速幂即可。

T3. 麻将桌（P4169 天使玩偶）

题意：给出 \(n\) 个点的坐标 \((x_{1...n},y_{1...n})\)。有 \(m\) 个操作，每个操作有两种：

• \(\text{1 x y}\)：加入一个新的点，坐标为 \((x,y)\)。

• \(\text{2 x y}\)：查询 \((x,y)\) 与所有点中的最小曼哈顿距离。

\(1\le n,m\le3\times10^5\)

模拟赛放做过的 \(\text{CDQ}\) 模板题是什么意思？

考虑把绝对值拆成 与左上、左下、右上、右下 的点的最小曼哈顿距离。

这里只说左上，其他方向类似。

我们列出式子，答案就是

\[\begin{aligned} \min_{x_i\le x,y_i\le y}\{x-x_i+y-y_i\} &= \min_{x_i\le x,y_i\le y}\{(x+y)-(x_i+y_i)\} \\ &= (x+y)-\max_{x_i\le x,y_i\le y}\{x_i+y_i\} \end{aligned} \]

时间一维，横坐标一维，纵坐标一维，用 \(\text{CDQ}\) 分治即可。

T4. 数学题（P2542 [AHOI2005]航线规划）

题意：一张无向图，有两种操作：

• 删除一条已有的边，保证删除后图连通。

• 查询两点之间的割边数量。

\(1\le n\le 3\times10^4,\space 1\le q\le4\times10^4,\space 1\le m\le10^5\)

神奇但沈奇的题。

套路，离线下来，从后往前依次加边，同时查询割边数量。

在加边之前，由于删边保证连通，可以先边双缩点。

缩完点后是一棵树，对于一条新加的边 \((u,v)\)，我们会使得树上路径 \(u\rightarrow v\) 与 \((v,u)\) 形成一个边双，使得 \(u\rightarrow v\) 上的每条边都不再成为割边。

在树上的割边打 \(1\) 标记，非割边打 \(0\) 标记，那么查询即为树上路径权值和，加边相当于把路径上每条边的权值覆盖成 \(0\)。

树剖 + 线段树即可。