模拟赛8.18 解题报告
T1. 动态数点（JZOJ6294）
题意：求最大的 \(r-l\) 满足 \(1\le l\le r\le n\)，且存在一个 \(k(l\le k\le r)\)，使得 \(\forall i,a_k|a_i\)。并输出有哪些满足条件的 \(l,r\)。\(1\le n\le5\times10^5\)
题目相当于找一个区间，满足存在一个数是区间所有数的因数。
那么这样的数必定是区间的最小值，于是条件转化为 \(\min\limits_{i=l}^r \{a_i\}=\gcd\limits_{i=l}^r\{a_i\}\)。
不难想到区间长度具有可二分性，考虑二分区间长度。然后用 \(\text{ST}\) 表查询区间最小值、区间 \(\gcd\)。理论复杂度 \(O(n\log^2n)\)，但远远达不到这个上界。
T2. 中位数
题意：给出 \(n\) 个数 \(a_{1..n}\)，求所有非空子集的和的中位数。\(1\le n,a_i\le2000\)
猜测中位数也许和平均数有关，设平均值 \(v=\frac{\sum_S\sum_{i\in S}a_i}{2^n}=\frac{\sum_{i=1}^na_i}2\)。对于一个子集 \(S\)，设和为 \(\text{sum}(S)\)，取补集 \(S'=\{1,2,...,n\}-S\)，那么有 \(\text{sum}(S)+\text{sum}(S')=\sum\limits_{i=1}^na_i\) 即 \(\frac{\text{sum}(S)+\text{sum}(S')}2=v\)。
把 \(\text{sum}(S),\text{sum}(S'),v\) 三个数放在数轴上理解（钦定 \(\text{sum}(S)<\text{sum}(S')\)）：
那么 \(\text{sum}(S)\) 与 \(\text{sum}(S')\) 在数轴上关于 \(v\) 对称。
我们给集合分类：\(\text{A}\) 类和 \(\text{B}\) 类。对于 \(\text{A}\) 类，每个数 \(\le v\)；对于 \(\text{B}\) 类，每个数 \(\ge v\)。
进一步可得，对于两个互为补集的集合 \(S,S'\)，若 \(\text{sum}(S)<\text{sum}(S')\)，那么把 \(S\) 分到 \(\text{A}\) 类，把 \(S'\) 分到 \(\text{B}\) 类，反过来类似。
一共有 \(2^{n-1}\) 对互为补集的子集，那么此时 \(\text{A,B}\) 类子集都各有 \(2^{n-1}\) 个。
因为不算空集，我们要在 \(\text{A}\) 类里面把空集去掉，此时 \(\text{A}\) 有 \(2^{n-1}-1\) 个、\(\text{B}\) 有 \(2^{n-1}\) 个。注意到中位数其实就是求第 \(2^{n-1}\) 小的数，于是答案就是 \(\text{B}\) 类中和最小的子集的 \(\text{sum}\)。由于 \(\text{A}\) 类中 \(=v\) 的数并不影响答案，我们相当于是求 \(\ge v\) 的和最小的子集。
如何求和 \(\ge v\) 且最小的子集？直接背包。这是一个 \(01\) 可行性背包，用 \(\text{bitset}\) 优化即可。时间复杂度 \(O(\frac{n^2a}w)\)。
T3. 出题
题意：有 \(n\) 个数 \(a_{1...n}\) 和 \(q\) 个操作，每个操作有两种可能：
-
\(\text{1 l r d}\)：令 \(a_l,a_{l+1},...,a_r\) 都加上 \(d\)。
-
\(\text{2 l r}\)：查询 \(\sum\limits_{i=l}^r a_i\)
一开始 \(a_1=a_2=...=a_n=0\)。给出 \(P_{1...q-1}\)，依次删去第 \(P_1,P_2,...,P_{q-1}\) 次操作，求出一开始和每删一个操作后的查询出的答案的总和。\(1\le n,q\le 2\times10^5,\space 1\le P_i\le q\) 且 \(P_i\) 两两不同。
首先考虑如何只用树状数组求解。若没有删除，那么这是个区间加、区间查询的板子，可以用两个树状数组解决。
考虑每次删除一个操作，若删除的是区间加操作，那么这会与之后的查询产生贡献，对总答案产生贡献；若删除的是区间查询操作，这会与之前的加操作产生贡献。
这就有点三位偏序的感觉了，但思路还是不够清晰。
我们把每一个操作都放到对应的删除时间上，最后一个没删除的操作对应结尾时间。设 \(t_i\) 表示时刻 \(i\) 删除的操作在原操作序列的顺序（第几个），那么若 \(i,j(i<j)\) 产生了贡献，我们在位置 \(i\) 上记录贡献，最后前缀和一遍即可。
于是，删除时间一维，原操作序列的顺序一维，以及区间操作一维，直接 \(\text{cdq}\) 即可。
T4. 排列（AGC005D ~K Perm Counting）
题意：求有多少个 \(1...n\) 的排列 \(A_1,A_2,...,A_n\)，满足 \(\forall i,|A_i-i|\not =k\)。\(1\le n,k\le1000\)
万重原题。
考虑若没有绝对值符号，即 \(\forall i,A-i-i\not =k\)，所有的 \(i\) 独立，直接容斥就行了。
但是现在 \(A_i\) 不能取两个值：\(i-k,i+k\)。思路还是容斥，考虑建立二分图，左边表示点编号，右边表示取值。把 \(i\) 与 \(i+k,i-k\) 连边，选择一条边相当于一个不合法的匹配。
发现建出来的图是由 \(2k\) 条链组成，显然每条链互相独立。设 \(f[i,j,0/1]\) 表示 \(i\) 个点的链，选了 \(j\) 条边，最后一条边是/否选择的方案数。
由于选边表示匹配，那么选择的不同的两条边不能连接一个相同的点。转移：
对于 \(2k\) 条链，考虑背包合并。设 \(g[i,j]\) 表示前 \(i\) 条链选择 \(j\) 条边的方案数，转移略。
最后的答案即为
时间复杂度 \(O(nk\cdot \frac nk)=O(n^2)\)。
