模拟赛8.18 解题报告

T1. 动态数点（JZOJ6294）

题意：求最大的 $r-l$ 满足 $1\le l\le r\le n$，且存在一个 $k(l\le k\le r)$，使得 $\mathrm{\forall }i,a_k|a_i$。并输出有哪些满足条件的 $l,r$。$1\le n\le 5\times {10}^5$

题目相当于找一个区间，满足存在一个数是区间所有数的因数。

那么这样的数必定是区间的最小值，于是条件转化为 $\underset{i=l}{\overset{r}{min}}\{a_i\}=\underset{i=l}{\overset{r}{gcd}}\{a_i\}$。

不难想到区间长度具有可二分性，考虑二分区间长度。然后用 $\text{ST}$ 表查询区间最小值、区间 $gcd$。理论复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$，但远远达不到这个上界。

T2. 中位数

题意：给出 $n$ 个数 $a_{1..n}$，求所有非空子集的和的中位数。$1\le n,a_i\le 2000$

猜测中位数也许和平均数有关，设平均值 $v=\frac{\sum _S\sum _{i\in S}{a}_i}{2^n}=\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{2}$。对于一个子集 $S$，设和为 $\text{sum}(S)$，取补集 $S^{\prime }=\{1,2,...,n\}-S$，那么有 $\text{sum}(S)+\text{sum}(S^{\prime })=\sum _{i=1}^n{a}_i$ 即 $\frac{\text{sum}(S)+\text{sum}(S^{\prime })}{2}=v$。

把 $\text{sum}(S),\text{sum}(S^{\prime }),v$ 三个数放在数轴上理解（钦定 $\text{sum}(S)<\text{sum}(S^{\prime })$）：

那么 $\text{sum}(S)$ 与 $\text{sum}(S^{\prime })$ 在数轴上关于 $v$ 对称。

我们给集合分类：$\text{A}$ 类和 $\text{B}$ 类。对于 $\text{A}$ 类，每个数 $\le v$；对于 $\text{B}$ 类，每个数 $\ge v$。

进一步可得，对于两个互为补集的集合 $S,S^{\prime }$，若 $\text{sum}(S)<\text{sum}(S^{\prime })$，那么把 $S$ 分到 $\text{A}$ 类，把 $S^{\prime }$ 分到 $\text{B}$ 类，反过来类似。

一共有 $2^{n-1}$ 对互为补集的子集，那么此时 $\text{A,B}$ 类子集都各有 $2^{n-1}$ 个。

因为不算空集，我们要在 $\text{A}$ 类里面把空集去掉，此时 $\text{A}$ 有 $2^{n-1}-1$ 个、$\text{B}$ 有 $2^{n-1}$ 个。注意到中位数其实就是求第 $2^{n-1}$ 小的数，于是答案就是 $\text{B}$ 类中和最小的子集的 $\text{sum}$。由于 $\text{A}$ 类中 $=v$ 的数并不影响答案，我们相当于是求 $\ge v$ 的和最小的子集。

如何求和 $\ge v$ 且最小的子集？直接背包。这是一个 $01$ 可行性背包，用 $\text{bitset}$ 优化即可。时间复杂度 $O(\frac{n^{2}a}{w})$。

T3. 出题

题意：有 $n$ 个数 $a_{1...n}$ 和 $q$ 个操作，每个操作有两种可能：

• $\text{1 l r d}$：令 $a_l,a_{l+1},...,a_r$ 都加上 $d$。

• $\text{2 l r}$：查询 $\sum _{i=l}^r{a}_i$

一开始 $a_1=a_2=...=a_n=0$。给出 $P_{1...q-1}$，依次删去第 $P_1,P_2,...,P_{q-1}$ 次操作，求出一开始和每删一个操作后的查询出的答案的总和。$1\le n,q\le 2\times {10}^5,1\le P_i\le q$ 且 $P_i$ 两两不同。

首先考虑如何只用树状数组求解。若没有删除，那么这是个区间加、区间查询的板子，可以用两个树状数组解决。

考虑每次删除一个操作，若删除的是区间加操作，那么这会与之后的查询产生贡献，对总答案产生贡献；若删除的是区间查询操作，这会与之前的加操作产生贡献。

这就有点三位偏序的感觉了，但思路还是不够清晰。

我们把每一个操作都放到对应的删除时间上，最后一个没删除的操作对应结尾时间。设 $t_i$ 表示时刻 $i$ 删除的操作在原操作序列的顺序（第几个），那么若 $i,j(i<j)$ 产生了贡献，我们在位置 $i$ 上记录贡献，最后前缀和一遍即可。

于是，删除时间一维，原操作序列的顺序一维，以及区间操作一维，直接 $\text{cdq}$ 即可。

T4. 排列（AGC005D ~K Perm Counting）

题意：求有多少个 $1...n$ 的排列 $A_1,A_2,...,A_n$，满足 $\mathrm{\forall }i,|A_i-i|\ne k$。$1\le n,k\le 1000$

万重原题。

考虑若没有绝对值符号，即 $\mathrm{\forall }i,A-i-i\ne k$，所有的 $i$ 独立，直接容斥就行了。

但是现在 $A_i$ 不能取两个值：$i-k,i+k$。思路还是容斥，考虑建立二分图，左边表示点编号，右边表示取值。把 $i$ 与 $i+k,i-k$ 连边，选择一条边相当于一个不合法的匹配。

发现建出来的图是由 $2k$ 条链组成，显然每条链互相独立。设 $f[i,j,0/1]$ 表示 $i$ 个点的链，选了 $j$ 条边，最后一条边是/否选择的方案数。

由于选边表示匹配，那么选择的不同的两条边不能连接一个相同的点。转移：

$$f[i,j,0]=f[i-1,j,1]+f[i-1,j,0]$$

$$f[i,j,1]=f[i-1,j-1,0]$$

对于 $2k$ 条链，考虑背包合并。设 $g[i,j]$ 表示前 $i$ 条链选择 $j$ 条边的方案数，转移略。

最后的答案即为

$$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i\times g[2k,i]\times (n-i)!$$

时间复杂度 $O(nk\cdot \frac{n}{k})=O(n^2)$。