模拟赛8.15 解题报告

T1. 这一切

题意：一张无向图，初始时每条边有黑/白两种颜色。每一秒，若存在点 \(u\)，满足与 \(u\) 相连的边中，只有一条边是白色，那么这条边就会自动变成黑色。若过了 \(10^{10^{10^{10^{...}}}}\) 秒后，所有边都变成了黑色，问初始时黑色边的数量最小是多少。\(1\le n,m\le10^6\)

把黑边看做消失，定义点的度数为相连的白边数量，度数为 \(1\) 的点可以看做不断删点。那么，把度数为 \(d\) 的点删除的代价为 \(d-1\)，删除该点后，与该点相邻的点的度数都会减一。感性理解，我们的删点代价有两倍贡献，而一个连通块中所有点的度数恰好为边数之和的两倍。删点的代价并不是 \(d\) 而是 \(d-1\)，那么删除大小为 \(l\)、遍数为 \(e\) 的连通块的所有点，\(-1\) 的贡献之和为 \(-l\)，而 \(d\) 的贡献之和为 \(2e\)，但因为每次删边有两倍贡献，我们贡献次数是实际的 \(\frac 12\)，因此总贡献为 \(e\)。但因为删到最后一个点时，度数为 \(0\)，此时该点没有 \(-1\) 的贡献，因此一个连通块的贡献为 \(e-n+1\)。

然后把所有连通块的贡献加起来即可，时间复杂度 \(O(n\alpha(n))\)。

T2. 都是（『JOISC2014』有趣的家庭菜园）

题意：\(n\) 个数 \(a_{1...n}\)，每次交换相邻两个数，求使得存在一个 \(k\)，满足 \(a_1\le a_2\le...\le a_{k-1}\le a_k\ge a_{k+1}\ge...\ge a_{n-1}\ge a_n\) 的最小交换次数。

原题过于 \(\text{ATC}\)，很符合我对 \(\text{JAPAN}\) 的想象。

想题过程太痛苦了，这题把我送走了（

直接思考两边的数的移动过于困难，考虑最小值，他一定是在交换后序列的两端中的一端。

显然，最小值需要和其他数都贡献一次，我们只需要比较左边和右边哪边数字少即可。

然后剩下就是个子问题（无后效性）。我们不能暴力将最小值移到两端，可以把这个位置标记为删除，记录每个位置是否存在，若存在则标记为 \(1\)，否则为 \(0\)，然后用树状数组就能做到 \(O(n\log n)\)。

T3. 命运石之门的

有三种动物，标为 \(0,1,2\)，其中 \(1\) 是 \(0\) 的天敌，\(2\) 是 \(1\) 的天敌，\(0\) 是 \(1\) 的天敌。一开始有 \(n\) 个动物，第 \(i\) 个动物关在第 \(i\) 个笼子里，有 \(m\) 次操作，每次操作二选一：

• \(1\space u\space v\)：把第 \(v\) 个笼子里的动物放到第 \(u\) 个笼子里去，摧毁第 \(v\) 个笼子，然后两只动物进行决斗，天敌胜利。若种类相同则原来在第 \(u\) 个笼子里的动物胜利。

• \(2\space u\)：若第 \(u\) 个动物现在仍然存活，那么初始时一共有多少种动物种类状态。（动物种类状态：\(n\) 个笼子里的动物种类构成一个状态）

\(1\le n,m\le2\times10^5\)

一眼套路，考虑离线建树。

一次对 \(u,v\) 的合并，开一个新的点 \(p\)，连边 \(p\rightarrow u,\space p\rightarrow v\)，然后用一个并查集维护一个点当前所在树的根，比如此时另 \(d_u=d_v=p\)。

对于每个询问，我们转化成“点 \(u\) 不断向上跳父亲，直到一个指定的点 \(f\)，与 \(f\) 子树内其他点合并仍存在的初始局面方案数”，称为询问 \((u,f)\)。

对于每个询问 \((u,f)\)，我们暴力跳父亲，当跳到点 \(p\) 时，我们把 \(u\) 与 \(p\) 的另一个儿子的子树合并。设 \(g[u,0/1/2]\) 表示 \(u\) 子树内最终存活的动物种类为 \(0/1/2\) 时，\(u\) 子树内的叶子的初始局面方案数。然后发现 \(g[u,0/1/2]=3^{|\text{subtree}(u)|-1}\)，利用这个我们就能快速合并。

但是暴力跳父亲最多跳 \(O(n)\) 次，时间复杂度为 \(O(nq)\)。考虑一遍 \(\text{DFS}\)，当前遍历到了 \(u\)，计算 \(u\) 的左右儿子子树互相的贡献，用一个线段树+\text{DFS}序即可解决。

时间复杂度 \(O(n\log n+q)\)。

T4. 选择

题意：\(n\) 个点一棵树，\(m\) 次询问，每次给出 \(u,v,k(u\not=v)\)，求有多少种选择 \(k\) 条路径的方案，满足路径两两之间的交集为 \(\text{Path}(u,v)\)。\(1\le n,m\le10^5,\space 2\le k\le500\)

路径两两之间不相交，那么对于 \(u\)，不存在两条路径覆盖 \(u\) 的同一个非 \(v\) 方向的儿子；\(v\) 同理。

因此，每条路径向点 \(u,v\) 之外延伸，两边延伸的子路径独立，可以分开考虑。

设 \(f[u,i]\) 表示点 \(u\) 向外拓展 \(i\) 条两两不相交的路径有多少种方案，这个东西可以预处理，每条边会被转移 \(2\) 次，时间复杂度 \(O(nk)\)。

放到询问上，我们需要容斥去掉 \(u\) 向 \(v\) 方向拓展的路径，反向背包即可。

时间复杂度 \(O(qk+n(\log n+k))\)。