网络流初级复习

前言#

本人初识网络流后，基本上没什么接触，这两天专门训练，加深了对网络流得巩固。

本文只基于初级巩固介绍网络流算法。

前置知识#

• 初步了解网络

• 会写 EK 板子

• 会写 Dinic 板子

网络流的三个性质#

• $f(u,v)=-f(v,u)$

• $f(u,v)\le c(u,v)$

• $u\ne S,T,\sum _{v}f(u,v)=0$

EK 算法证明#

• 残量调整定理：原图上的任何一种合法流，都可以从残量网络上调整得到。

证明：对于 $f(u,v)=w$，显然有 $f(v,u)=-w$，此时边 $(v,u)$ 剩余容量为 $w$。不超过容量限制的调整，相当于在原图上增加流量，也可以退回流量。

• 时间复杂度：EK 算法时间复杂度为 $O(n{m}^2)$。

证明：每一次 $\text{Bfs}$ 需要 $O(m)$，最短路的长度有只会单调上升，最多 $O(n)$，种类数为 $O(m)$，所以时间复杂度为 $O(n{m}^2)$。

最小割#

• 最大流 - 最小割定理：最小割等于最大流。

证明：设最小割为 $\text{mincut}$，最大流为 $\text{maxflow}$。首先 $\text{mincut}\ge \text{maxflow}$，对于最小割的边集，令这些边最大流满流，显然不可能存在其他增广路径。我们只需要在最大流方案中选择一种方案，满足最小割等于最大流即可。

Hall 定理#

一张二分图，分别有 $n,m(n\le m)$ 个点。有两个条件与结论：

• 设 $N(S)$ 表示左部点集合 $S$ 中的点连的右部点的并集。二分图存在完美匹配，当且仅当对于任意一个 $n$ 个点的子集 $S$，满足 $|N(S)|\ge |S|$，。

证明：必要性：若存在 $S$ 满足 $|N(S)|<|S|$，显然不可能存在完美匹配。充分性：考虑数学归纳法，当 $n=1$ 时显然成立。对于 $n$ 个点，假设已知对 $1...n-1$ 成立。若任意一个集合 $S$ 都满足 $|N(S)|>|S|$，我们将点 $n$ 随便和一个右部点匹配，不难发现剩下 $n-1$ 点的任意一个集合 $S^{\prime }$ 仍然满足 $|N(S^{\prime })|\ge |S^{\prime }|$；否则，选择一个 $S$ 满足 $|N(S)|=|S|$，根据假设，$S$ 内的点存在完美匹配。考虑对剩下点的更新，发现对于一个集合 $S_1=S_2+S_3$（其中 $S_2,S_3$ 分别为剩下点的集合和 $S$ 的子集），已知 $|N(S_1)|\ge |S_1|$，减去 $S_3$，对应的右部点数量也减去 $|S_3|$，那么 $|N^{\prime }(S_2)|=|N(S_1)|-|S_3|\ge |S_1|-|S_3|\ge |S_2|$，条件仍然成立，根据假设，剩下的点也存在完美匹配。

• 推广：二分图的最大匹配数量为 $\underset{S}{min}\{n-|S|+|N(S)|\}$

证明：考虑建立网络流模型，跑最小割，上式其实就是最小割。

最小割树#

设 $\text{solve}(S)$ 表示对点集 $S$ 建立最小割树。

算法流程如下：

• 选择两个点 $s,t\in S$。

• 在原图上跑 $s,t$ 的最小割。

• 最后拆成两个点集 $V_s,V_t$，分别递归 $\text{solve}(V_s),\text{solve}(V_t)$。

建模分析#

• 匹配模型

如二分图：建立源点连接左部点，建立汇点连接右部点。

• 拆点技巧

把一个点 $u$ 拆成入点和出点 $u_{in},u_{out}$，一条本来连接 $(u,v)$ 的边变为连接 $(u_{out},v_{in})$。

例题：P2774 方格取数加强版

每个方格拆点，入点和出点连一条容量为 $1$，费用为对应权值的边，再连一条容量为 $inf$，费用为 $0$ 的边。上面的格子向下面的格子连容量为$inf$，费用为 $0$ 的边，左边对右边同理。然后跑最大费用最大流即可。

• 最小割处理“一面对多面”

例题：CF103E Buying Sets

源点向每个元素连边，每个元素向对应子集连边，子集向汇点连边。

不考虑权值，每条边容量为 $1$（除了元素向子集连的边为 $inf$），跑最小割，不难发现对于表子集的点，要么割去向汇点连的点，要么割去所有子集元素与源点的连边。所以割去源点连接元素表示选择这个元素，割去子集向汇点连的边表示放弃这个子集的收益。

不难发现这样的图最小割为 $n$。为了使得割去的边数保持为 $n$ 而又能考虑到权值收益，先把所有权值取相反数，然后作为子集连向汇点的边的容量，之后把所有边容量加上 $inf$。

• 最小割处理 变量取值收益最小/大化+取值（差）限制

例题：P3227 [HNOI2013]切糕

每个二维点看做变量 $x_{i,j}$，那么相邻格子的变量取值绝对值之差 $\le d$， $x_{i,j}$ 取 $k$ 的代价为 $v[k,i,j]$。

对于每个变量，在源点和汇点之间连一条链，链上边的容量依次是 $v[1...r,i,j]$，不难发现，跑一遍最小割即可得到每个变量取值代价最小的代价和。

我们需要算上限制，对于两个变量 $x_1,x_2$，我们在 $x_1$ 取 $Val$ 的边的前驱驱向 $x_2$ 取 $Val-d$ 的前驱连边，那么 $x_1,x_2$ 取 $\ge Val,<Val-d$ 时还需要割边，于是构造出了不合法的判断方法。

例题：ARC107F Sum of Abs

每个点有三种情况：删除、收益为 $b_i$、收益为 $-b_i$。

有删除操作，考虑拆点，把每个点拆成入点和出点，入点和出点连一条容量为 $a_i$ 的边。

类似于最小割的经典二选一问题，我们令源点向入点连一条容量为 $b_i$ 的边，出点向汇点连一条容量为 $-b_i$ 的点。

但是有个限制：同一联通快内的点必须统一取 $b_i$ 或 $-b_i$。这跟上题很类似，有连边的两个点不能取不同的两个收益。对于有连边没删除的边 $(u,v)$，令 $u_{out}$ 向 $v_{in}$ 连一条容量为 $inf$ 的边，即可保证 $u,v$ 不能同时取 $-b_u,b_v$。

容量可能有负数，让所有都加 $inf$ 即可。