网络流初级复习
前言
本人初识网络流后，基本上没什么接触，这两天专门训练，加深了对网络流得巩固。
本文只基于初级巩固介绍网络流算法。
前置知识
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初步了解网络
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会写 EK 板子
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会写 Dinic 板子
网络流的三个性质
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\(f(u,v)=-f(v,u)\)
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\(f(u,v)\le c(u,v)\)
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\(u\not= S,T,\space\space \sum\limits_v f(u,v)=0\)
EK 算法证明
- 残量调整定理：原图上的任何一种合法流，都可以从残量网络上调整得到。
证明：对于 \(f(u,v)=w\)，显然有 \(f(v,u)=-w\)，此时边 \((v,u)\) 剩余容量为 \(w\)。不超过容量限制的调整，相当于在原图上增加流量，也可以退回流量。
- 时间复杂度：EK 算法时间复杂度为 \(O(nm^2)\)。
证明：每一次 \(\text{Bfs}\) 需要 \(O(m)\)，最短路的长度有只会单调上升，最多 \(O(n)\)，种类数为 \(O(m)\)，所以时间复杂度为 \(O(nm^2)\)。
最小割
- 最大流 - 最小割定理：最小割等于最大流。
证明：设最小割为 \(\text{mincut}\)，最大流为 \(\text{maxflow}\)。首先 \(\text{mincut}\ge\text{maxflow}\)，对于最小割的边集，令这些边最大流满流，显然不可能存在其他增广路径。我们只需要在最大流方案中选择一种方案，满足最小割等于最大流即可。
Hall 定理
一张二分图，分别有 \(n,m(n\le m)\) 个点。有两个条件与结论：
- 设 \(N(S)\) 表示左部点集合 \(S\) 中的点连的右部点的并集。二分图存在完美匹配，当且仅当对于任意一个 \(n\) 个点的子集 \(S\)，满足 \(|N(S)|\ge |S|\)，。
证明：必要性：若存在 \(S\) 满足 \(|N(S)|<|S|\)，显然不可能存在完美匹配。充分性：考虑数学归纳法，当 \(n=1\) 时显然成立。对于 \(n\) 个点，假设已知对 \(1...n-1\) 成立。若任意一个集合 \(S\) 都满足 \(|N(S)|>|S|\)，我们将点 \(n\) 随便和一个右部点匹配，不难发现剩下 \(n-1\) 点的任意一个集合 \(S'\) 仍然满足 \(|N(S')|\ge|S'|\)；否则，选择一个 \(S\) 满足 \(|N(S)|=|S|\)，根据假设，\(S\) 内的点存在完美匹配。考虑对剩下点的更新，发现对于一个集合 \(S_1=S_2+S_3\)（其中 \(S_2,S_3\) 分别为剩下点的集合和 \(S\) 的子集），已知 \(|N(S_1)|\ge|S_1|\)，减去 \(S_3\)，对应的右部点数量也减去 \(|S_3|\)，那么 \(|N'(S_2)|=|N(S_1)|-|S_3|\ge|S_1|-|S_3|\ge|S_2|\)，条件仍然成立，根据假设，剩下的点也存在完美匹配。
- 推广：二分图的最大匹配数量为 \(\min\limits_{S}\{n-|S|+|N(S)|\}\)
证明：考虑建立网络流模型，跑最小割，上式其实就是最小割。
最小割树
设 \(\text{solve}(S)\) 表示对点集 \(S\) 建立最小割树。
算法流程如下：
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选择两个点 \(s,t\in S\)。
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在原图上跑 \(s,t\) 的最小割。
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最后拆成两个点集 \(V_s,V_t\)，分别递归 \(\text{solve}(V_s),\text{solve}(V_t)\)。
建模分析
- 匹配模型
如二分图：建立源点连接左部点，建立汇点连接右部点。
- 拆点技巧
把一个点 \(u\) 拆成入点和出点 \(u_{in},u_{out}\)，一条本来连接 \((u,v)\) 的边变为连接 \((u_{out},v_{in})\)。
每个方格拆点，入点和出点连一条容量为 \(1\)，费用为对应权值的边，再连一条容量为 \(\inf\)，费用为 \(0\) 的边。上面的格子向下面的格子连容量为\(\inf\)，费用为 \(0\) 的边，左边对右边同理。然后跑最大费用最大流即可。
- 最小割处理“一面对多面”
源点向每个元素连边，每个元素向对应子集连边，子集向汇点连边。
不考虑权值，每条边容量为 \(1\)（除了元素向子集连的边为 \(\inf\)），跑最小割，不难发现对于表子集的点，要么割去向汇点连的点，要么割去所有子集元素与源点的连边。所以割去源点连接元素表示选择这个元素，割去子集向汇点连的边表示放弃这个子集的收益。
不难发现这样的图最小割为 \(n\)。为了使得割去的边数保持为 \(n\) 而又能考虑到权值收益，先把所有权值取相反数，然后作为子集连向汇点的边的容量，之后把所有边容量加上 \(\inf\)。
- 最小割处理 变量取值收益最小/大化+取值（差）限制
每个二维点看做变量 \(x_{i,j}\)，那么相邻格子的变量取值绝对值之差 \(\le d\)， \(x_{i,j}\) 取 \(k\) 的代价为 \(v[k,i,j]\)。
对于每个变量，在源点和汇点之间连一条链，链上边的容量依次是 \(v[1...r,i,j]\)，不难发现，跑一遍最小割即可得到每个变量取值代价最小的代价和。
我们需要算上限制，对于两个变量 \(x_1,x_2\)，我们在 \(x_1\) 取 \(Val\) 的边的前驱驱向 \(x_2\) 取 \(Val-d\) 的前驱连边，那么 \(x_1,x_2\) 取 \(\ge Val,<Val-d\) 时还需要割边，于是构造出了不合法的判断方法。
每个点有三种情况：删除、收益为 \(b_i\)、收益为 \(-b_i\)。
有删除操作，考虑拆点，把每个点拆成入点和出点，入点和出点连一条容量为 \(a_i\) 的边。
类似于最小割的经典二选一问题，我们令源点向入点连一条容量为 \(b_i\) 的边，出点向汇点连一条容量为 \(-b_i\) 的点。
但是有个限制：同一联通快内的点必须统一取 \(b_i\) 或 \(-b_i\)。这跟上题很类似，有连边的两个点不能取不同的两个收益。对于有连边没删除的边 \((u,v)\)，令 \(u_{out}\) 向 \(v_{in}\) 连一条容量为 \(\inf\) 的边，即可保证 \(u,v\) 不能同时取 \(-b_u,b_v\)。
容量可能有负数，让所有都加 \(\inf\) 即可。
