模拟赛8.3 解题报告

T1 跑路#

题意：一个矩阵，每个数为 $0/1$。每次操作选一个子矩阵，把子矩阵中的所有数取反。求使得矩阵出现一条从 $(1,1)$ 到 $(n,m)$ 全为 $0$ 的最短路径的最小操作数。

对于任意一条 $(1,1)$ 到 $(n,n)$ 的最短路径 $P$，我们若令 $P$ 上的数全部变成 $0$，需要选择若干个矩阵操作。不难发现，此时的最小操作数为 $P$ 上 $1$ 的连续段数。

设 $f[i,j]$ 表示到达 $(i,j)$ 时 $1$ 的最小连续段数，$O(nm)$ 的 DP 即可解决。

T2(AGC010C) 清扫#

题意：有一棵 $n$ 个点的树，每个点 $u$ 有一个非负权值 $a_u$。进行若干次操作，每次操作选择两个叶子节点 $v_1,v_2$，若对于任意一点 $u\in \text{Path}(v_1,v_2)$，满足 $a_u>0$，则令所有 $a_u(u\in \text{Path}(v_1,v_2))$ 减一。判断是否能使所有权值变成 $0$。叶子节点定义为度数为 $1$ 的点。

抽象题需要大力设数，设 $g[u]$ 表示 $u$ 的子树中的叶子节点与 $u$ 子树外的叶子节点的操作数。

为了方便，我们先找一个非叶子节点作为根（$n<3$ 时特判）。对于点 $u$，若我们已知 $g[v](v\in \text{son}(u))$，设 $sumg=\sum _{v}g[v],mxg=\underset{v}{max}\{g[v]\}$，若 $sumg<a_u$，显然无解。否则每个儿子需要互相合并一些操作，共合并 $sumg-a_u$ 次。根据经典套路，我们最多可以合并 $min(\lfloor \frac{sumg}{2}\rfloor ,sumg-mxg)$ 次，判断合法性，然后计算

$$g[u]=sumg-2(sumg-a_u)=2a_u-sumg$$

显然最后根节点的 $g$ 为 $0$，再判断一次根节点即可。

T3(ARC092F) 定向#

给出一张有向图，对于每条边，判断将其反向后 $\text{SCC}$ 数量是否改变。

$n\le 1000,m\le 2\times {10}^5$

对边 $(u,v)$ 分类。

• $(u,v)$ 为 $\text{SCC}$ 外的边（连接两个 $\text{SCC}$ 的边）

若 $u\to v$ 存在另一条路径，那么 $(u,v)$ 反向后，存在环 $u\sim v\to u$，$\text{SCC}$ 数量减一。

• $(u,v)$ 为 $\text{SCC}$ 内的边

若 $(u,v)$ 反向，该 $\text{SCC}$ 割裂的条件： $u\to v$ 不存在其他路径。

于是，边 $(u,v)$ 反向后改变 $\text{SCC}$ 数量的条件：v→u存在路径 $\mathrm{xor}$ u→v存在其他路径 $=1$。

第一项好做，第二项呢？

大力发扬人类智慧，若边 $(u,v)$ 在 $u$ 的出边中处于位置 $p$，那么另一条路径包含的 $u$ 的一条出边肯定在 $p$ 的前面或后面。于是我们从前往后遍历出边，从后往前便利出边，进行两次 $\text{Dfs}$。若两次所占的 $u$ 的出边有一条不是 $(u,v)$ 那么说明存在其他路径。

时间复杂度 $O(nm)$。

T4(ARC089F) 染色#

题意：$n$ 个球，$m$ 次染色操作。给出长为 $m$ 由 $\text{r,b}$ 组成的字符串 $s$，若 $s_i=\text{r}$，第 $i$ 次操作为选择一段区间染红色，否则为选择一段小球都是红色的区间染蓝色。初始时所有小球都是白色的，求染完后小球的颜色情况有多少种可能，模 ${10}^9+7$。

非常复杂。

首先每一个非白色极长段肯定是先用红色全染，再用红蓝再上面染。我们以最少染色次数来计数，分成两类：

• 最终全是红色的大红段

• 最终有蓝有红的杂色段

先考虑杂色段。我们发现，若蓝色小段一共有 $k$ 小段，那么我们至少需要 $k+1$ 次染色，其中一次为一开始的大红段整体染色。而且，第二次染色一定是用蓝色染，剩下的颜色随便。即一个有 $4$ 个蓝色小段的杂色段，染色序列为 $\text{rb}$XXX，任意一种染色序列都能染出所有可行方案。

设 $s_i$ 表示第 $i$ 个杂色段的蓝色小段数量，$t_i$ 表示 第二次染色的时间从小到大的第 $i$ 个染色段从第二次染色的时间开始，有多少次染色是没有用过的（“用过”指杂色段的第一次大红染色，以及每个大红段的一次染色）。

若一共有 $c$ 个杂色段，对于任意一个 $i(1\le i\le c)$

$$t_i\ge \sum _{j=i}^c{s}_j$$

我们把 $s$ 降序排序，即可令满足条件的可能性最大化。

先不考虑每个段（不管大段还是小段）的长度，如何计数这些杂色段的排列数？显然蓝色小段数量相等的段是一样的，这就是一个多重集排列数，我们可以 DP 做。在 DP 的同时去满足上式条件限制。

设 $f[i,j,k]$ 表示填写了 $s_{i...c}$，其中 $\sum _{p=i}^c{s}_p=j,s_i=k$，此时所有方案的多重集排列数。

枚举 $x$ 表示 $s_i=s_{i+1}=\cdots =s_{i+x-1}>s_{i+x}$，枚举 $s_{i+x}=y<k$，那么

$$f[i,j,k]=\sum _{x,y}f[i+x,j-kx,y]\times C(c-i+1,x)$$

这个 DP 是 $O(n^4\log n)$ 的，前缀和优化可至 $O(n^3\log n)$。

为了满足条件，有 $j\le t_i$，对于 $x^{\prime }\in [i+1,x]$ 都有 $j-k{x}^{\prime }\le t_{i+x^{\prime }}$，后者可以在枚举 $x$ 的时候顺便判断。

现在考虑大红段，设有 $a$ 个大红段。贪心考虑，可知我们先让杂色段占掉靠前的 $\text{r}$，让大红段占掉剩下的一些 $\text{r}$。然后我们对大红段和杂色段之间计算排列组合方案数：$C(c+a,c)$。

考虑每个段的长度和白色段的长度。设杂色段的 $\sum _{i=1}^c{s}_i=s_0$，对于每个杂色段，若有 $k$ 个小蓝段，则 $k$ 个小蓝段和夹在其中的 $k-1$ 个小红段长度至少为 $1$，即杂色段有 $2s_0-c$ 个长度至少为 $1$ 的段；白色段有 $a+c-1$ 个段长度至少为 $1$；大红段有 $a$ 段。

则长度至少为 $1$ 的段数：

$$2s_0-c+a+c-1+a=2s_0+2a-1$$

杂色段两侧的小红段可有可无，整个小球序列的两侧的白色段可有可无，进一步推出所有可能的段数：

$$2s_0+2a+2c+1$$

然后用插板法就行了。

于是答案为

$$C(c+a,c)\times \sum f[1,j,k]\times C(n-(2j+2a-1)+(2j+2a+2c+1)-1,2j+2a+2c+1-1)$$

最后枚举个 $a,c$ 即可，时间复杂度 $O(n^5\log n)$。