【学习笔记】欧拉函数 欧拉定理 扩展欧拉定理

欧拉函数 欧拉定理 学习笔记

之前没怎么搞过数论，现在来学学 从最简单的搞起QwQ

欧拉函数

先说几个简单的概念

互质大家应该都懂，就不说了（除了1以外没有其他公因子）

剩余类、完全剩余系、缩系就不说了，不是什么高级的东西，感兴趣可以问我

在数论，对正整数n，欧拉函数$\phi (n)$是小于n的正整数中与n互质的数的数目

欧拉函数的推导

公式最后再说，先推一下，需要大力分讨

(1)$n=1$，则$\phi (1)=1$，1与任何数都互质

(2)$n$是质数，$\phi (n)=n-1$

(3)$n$是质数的某次方，$n=p^k$（p为质数，$k\ge 1$）$\phi (n)=p^k-p^{k-1}$

因为从$1$到$n$一共有$p^k$个数，其中不与$n$互质的一定为$p$的倍数共有$p^{k-1}$个

柿子亦可化简为$\phi (p^k)=p^k(1-\frac{1}{p})$，$k=1$时得到上述第二种情况

(4)$n$可分解为两互质整数之积，$n=p_1{p}_2$，$\phi (n)=\phi (p_1{p}_2)=\phi (p_1)\phi (p_2)$

证明需用CRT，有点麻烦，记住就行了（其实就是积性函数）

(5)任意正整数都可以写成质数之积,$n=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}$…$p_m^{k_m}$

根据(4)可得$\phi (n)=\phi (p_1^{k_1})\phi (p_2^{k_2})$…$\phi (p_m^{k_m})$

再根据(3)可得$\phi (n)=p_1^{k1}(1-\frac{1}{p_1})p_2^{k2}(1-\frac{1}{p_2})$…$p_m^{k_m}(1-\frac{1}{p_m})$

即$\phi (n)=p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}$…$p_m^{k_m}$$(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$…$(1-\frac{1}{p_m})$

最终得$\phi (n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})$…$(1-\frac{1}{p_m})$

综上所述:$\phi (n)=n\prod _{i=1}^m(1-p_i)$

这样我们就得到了欧拉函数的通项公式，考虑如何求解

欧拉函数就用欧拉筛(bushi

线性筛素数

保证每个数被最小质因子筛去，通过break做到$O(n)$

void oula()
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt && i<=n/prime[j];j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}

线性筛欧拉函数

用到的三个性质 设$d=\frac{n}{p}$（$p$为$n$的最小质因子）

1. $n$为质数，$\phi (n)=n-1$
2. 当$p$为$d$的一个质因子，$\phi (n)=\phi (d)\times p$
3. 当$p$与$d$互质，$\phi (n)=\phi (d)\times \phi (p)$

void oula()
{
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	phi[1]=1,cnt=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1; //性质1 
		for(int j=1;j<=cnt && i<=n/prime[j];j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true; 
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; //性质2 
				break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); //性质3 
		}
	}
}

求某个数的欧拉函数值

int oula(int x)
{
	int res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0) res=res/i*(i-1);
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1)return res=res/x*(x-1);
	else return res;
}

欧拉函数性质

1. 欧拉函数是积性函数（特别的$\phi (2n)=\phi (n)$）

2. $n=\sum _{d|n}\phi (d)$ $n$的所有因子的欧拉函数值之和为$n$

3. 还有一部分就是上面证明中提到的了qwq

欧拉定理

$gcd(a,m)=1$,则$a^{\phi (m)}\equiv 1(mod$ $m)$

欧拉定理的证明

首先举出几个引理

引理一

• 若$a，b，c$三个任意整数与正整数$m$，满足$m$与$c$互质，则如果$a\times c\equiv b\times c(mod$ $m)$，那么$a\equiv b(mod$ $m)$
• 证明:由同余的同加性可知，$a\times c-b\times c\equiv 0(mod$ $m)$，即$(a-b)\times c\equiv 0(mod$ $m)$，$gcd(c,m)=1$，因此$c$不为$m$的倍数，即$(a-b)$为$m$的倍数，$(a-b)\equiv 0(mod$ $m)$，$a\equiv b(mod$ $m)$

引理二

• $a,b$属于$m$的缩系，则$a\times b$ $mod$ $m$也属于$m$的缩系
• 证明：若$a,b$与$m$互质，则$a\times b$也与$m$互质（因为$a,b$中都没有与$m$相同的因子，所以$a\times b$也没有与$m$相同的因子），因此（可由反证法得知）$a\times b$ $mod$ $m$也与$m$互质

引理三

• $n,m$互质，且$S_1$={$a_1$,$a_2$,…,$a_m$}为$m$的完全剩余系，则$S_2$={$n{a}_1$ $mod$ $m$,$n{a}_2$ $mod$ $m$,…,$n{a}_m$ $mod$ $m$}也构成$m$的完全剩余系
• 证明：假设$n{a}_i\equiv n{a}_j(mod$ $m)$，由引理一可知$a_i\equiv a_j(mod$ $m)$，因为是其都属于$m$的完全剩余系，所以$a_i\not\equiv a_j(mod$ $m)$，产生了矛盾，因此$n{a}_i\not\equiv n{a}_j(mod$ $m)$，在$S_2$中两两之间都满足这一性质，即满足其为$m$的完全剩余系

引理四

• $n,m$互质，且$S_1$={$a_1$,$a_2$,…,$a_{\phi (m)}$}为$m$的简化剩余系（缩系），则$S_2$={$n{a}_1$ $mod$ $m$,$n{a}_2$ $mod$ $m$,…,$n{a}_{\phi (m)}$ $mod$ $m$}也为其简化剩余系
• 证明：首先由引理三推出一个完全剩余系，然后根据引理二可证明此引理

证明欧拉定理

$m$的简化剩余系为{$a_1$,$a_2$,…,$a_{\phi (n)}$}

则$a^{\phi (m)}{a}_1{a}_2$…$a_{\phi (m)}$=$(a{a}_1)(a{a}_2)\dots (a{a}_{\phi (m)})\equiv a_1{a}_2$…$a_{\phi (m)}(mod$ $m)$

即$a^{\phi (m)}{a}_1{a}_2$…$a_{\phi (m)}\equiv a_1{a}_2$…$a_{\phi (m)}(mod$ $m)$

后者($a_1{a}_2$…$a_{\phi (m)}$)均与$m$互质，直接由引理一得到$a^{\phi (m)}\equiv 1(mod$ $m)$

欧拉定理的一点小扩展

$a^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\phi (n)}(mod$ $n)$

证明

设$b=k\times \phi (n)+r$，$r=b\mathrm{mod}\phi (n)$，则$a^b\equiv a^{k\times \phi (n)+r}\equiv a^r\times a^{\phi (n)\times k}\equiv a^r\times (a^{\phi (n)}{)}^k(mod$ $n)$

因为$a^{\phi (n)}\equiv 1(mod$ $n)$，所以$a^b\equiv a^r(mod$ $n)$，即$a^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\phi (n)}(mod$ $n)$

扩展欧拉定理

由上得$a^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\phi (n)}(mod$ $n)$

则$a,m\in Z$（不要求互质）时有

$a^b\equiv \{\begin{array}{cc}{a}^{b\mathrm{mod}\phi (m)}& b<\phi (m)\\ a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}& b\ge \phi (m)\end{array}$ $(mod$ $m)$

证明扩展欧拉定理

取$m$的质因数$p$，满足$m=p^r\times s,gcd(p,s)=1$

欧拉定理得$p^{\phi (s)}\equiv 1(mod$ $m)$，$\phi (m)=\phi (s)\phi (p^r)$

$p^{\phi (m)}\equiv (p^{\phi (s)}{)}^{\phi (p^r)}\equiv 1^{(\phi (p^r))}\equiv 1(mod$ $s)$

设$p^{\phi (m)}=ks+1$，则$p^{\phi (m)+r}=p^{\phi (m)}\times p^r$=$(ks+1)\times p^r$，$s=\frac{m}{p^r}$，得到$p^{\phi (m)+r}=(km+p^r)$

即$p^{\phi (m)+r}\equiv p^r(mod$ $m)$

$b\ge r$时，$p^b\equiv p^{b-r}\times p^r\equiv p^{b-r}\times p^{\phi (m)+r}\equiv p^{b+\phi (m)}(mod$ $m)$

$r\le \phi (p^r)\le \phi (m)$，$b\ge \phi (m)\ge \phi (p^r)\ge r$

因此可得$a^b\ge a^{p^r}$，即$a^{p^r}$是$a^b$的一个因子，也是$a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}$的因子

即$a^b\equiv a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}\equiv 0(mod$ $p^r)$

然后质因子分解$m$为$\prod p_i^{r_i}$，按照上述方法，可得到每个$p_i^{r_i}$都满足$a^b\equiv a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}\equiv 0(mod$ $p_i^{r_i})$

综上所述：扩展欧拉定理成立

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long

using namespace std;

int phi,a,m,b,flag;

int ksm(int a,int b)
{
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=(a*a)%m)
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%m;
	}
	return ans;
}

int oula(int x)
{
	int res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++)
	{
		if(x%i==0) res=res/i*(i-1);
		while(x%i==0) x/=i;
	}
	if(x>1)return res=res/x*(x-1);
	else return res;
}

signed main()
{
	scanf("%d%d",&a,&m);
	
	int mid=m;	phi=oula(m); char ch;
	while ((ch=getchar())<'0' || ch>'9');
	while (b=b*10ll+(ch^48),(ch=getchar())>='0' && ch<='9')
	{
		if (b>=phi) flag=1,b%=phi;	
	}
	if(b>=phi) b%=phi,flag=true;
	if(flag) b+=phi;
	
	printf("%lld",ksm(a,b));
	
	return 0;
}

例题

上帝与集合的正确用法

差不多是个裸题，柿子都给出来了，直接递归就好，然后用扩展欧拉定理求解即可

AC code

点击查看代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long

using namespace std;

const int maxn=1e7+5;

inline int read()
{
	int w=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0' && ch<='9')
	{
		w=(w<<3)+(w<<1)+(ch^48);
		ch=getchar();
	}
	return w*f;
}

int t,p,cnt;
int phi[maxn];
bool vis[maxn];
int prime[maxn];

int ksm(int a,int b,int mod)
{
	int ans=1;
	for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod)
	{
		if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
	}
	return ans%mod;
}

void oula()
{
	phi[1]=1,cnt=0;int n=maxn-5;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!vis[i]) phi[i]=i-1,prime[++cnt]=i;
		for(int j=1;i<=n/prime[j] && j<=cnt;j++)
		{
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(i%prime[j]==0)
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;
			}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
		}
	}
}

int solve(int x)
{
	if(x==1) return 0;
	return ksm(2,solve(phi[x])+phi[x],x);
}

void work()
{
	printf("%lld\n",solve(read()));
}

signed main()
{
	oula();t=read();while(t--) work();
	
	return 0;
}

总结

其实就三句有用的

1. 欧拉公式 $\phi (x)=x\times \prod _{i=1}^k(1-\frac{1}{p_i})$
2. 欧拉定理 $gcd(a,m)=1$，$a^{\phi (m)}\equiv 1(mod$ $m)$
3. 扩展欧拉定理 $a^b\equiv \{\begin{array}{cc}{a}^{b\mathrm{mod}\phi (m)}& b<\phi (m)\\ a^{(b\mathrm{mod}\phi (m))+\phi (m)}& b\ge \phi (m)\end{array}$ $(mod$ $m)$