【学习笔记】树链剖分
树链剖分——轻重链剖分
其实是复习啦
引入
先解释一些变量和名词，防止后面混淆
id DFS序
deep 深度
fa 父节点
val 点的权值
siz 子树大小
max_son 重儿子
top 一条链的顶端
重儿子 子树最大的儿子
轻儿子 !重儿子（众所周知!是非的意思）
重边 父节点与重儿子的连边
轻边 父节点与轻儿子的连边
重链 好几条重边连成的路径
轻链 好几条轻边连成的路径
问题描述
给定一棵树，进行如下操作
将树从 x 到 y 结点最短路径上所有节点的值都加上 z
求树从 x 到 y 结点最短路径上所有节点的值之和
将以 x 为根节点的子树内所有节点值都加上 z
求以 x 为根节点的子树内所有节点值之和
思想概括
看到问题，我们不难想到树上差分和LCA
其实树剖大致上就是用把树搞成链，然后用数据结构维护起来
而进行操作时向上跳的不是节点，而是一整条链
预处理
DFS预处理出max_son和DFS序等信息
第一遍DFS,预处理重儿子、深度、子树大小和父节点
void dfs_first(int x,int y)
{
siz[x]=1;
deep[x]=deep[y]+1;
fa[x]=y;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==y)
{
continue;
}
dfs_first(v,x);
siz[x]+=siz[v];
if(siz[v]>siz[max_son[x]])
{
max_son[x]=v;
}
}
}
第二遍DFS，预处理出DFS序并且划分成链（预处理top）
void dfs_second(int x,int y) //这里的y是top呦
{
top[x]=y;
id[x]=++tot;
e[tot].val=val[x];
if(!max_son[x]) //为了更好地用数据结构维护，按轻重链划分
{
return ;
}
dfs_second(max_son[x],top[x]);
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v!=fa[x] && v!=max_son[x])
{
dfs_second(v,v); //划分新链，这个节点的top是它自己
}
}
}
数据结构维护
我用的是线段树啦
其实就是板子
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l;
t[p].r=r;
t[p].add=0;
if(l==r)
{
t[p].val=e[l].val;
if(t[p].val>mod)
{
t[p].val%=mod;
}
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
t[p].val=(t[p*2].val+t[p*2+1].val)%mod;
}
void push_down(int p)
{
if(t[p].add)
{
t[p*2].val+=(t[p*2].r-t[p*2].l+1)*t[p].add;
t[p*2+1].val+=(t[p*2+1].r-t[p*2+1].l+1)*t[p].add;
t[p*2].add+=t[p].add;
t[p*2+1].add+=t[p].add;
t[p*2].val%=mod;
t[p*2+1].val%=mod;
t[p].add=0;
}
}
void update(int p,int l,int r,int k)
{
if(l<=t[p].l && t[p].r<=r)
{
t[p].val+=(t[p].r-t[p].l+1)*k;
t[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
if(l<=mid)
{
update(p*2,l,r,k);
}
if(r>mid)
{
update(p*2+1,l,r,k);
}
t[p].val=(t[p*2].val+t[p*2+1].val)%mod;
}
int query(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l && t[p].r<=r)
{
return t[p].val;
}
push_down(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
int sum=0;
if(l<=mid)
{
sum+=query(p*2,l,r);
sum%=mod;
}
if(r>mid)
{
sum+=query(p*2+1,l,r);
sum%=mod;
}
return sum;
}
维护的信息视情况而定
查询/修改操作
类似求LCA
查询
void get_sum(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
{
swap(x,y);
}
ans+=query(1,id[top[x]],id[x]);
ans%=mod;
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])
{
swap(x,y);
}
ans+=query(1,id[x],id[y]);
cout<<ans%mod<<endl;
}
修改
void change(int x,int y,int z)
{
z%=mod;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
{
swap(x,y);
}
update(1,id[top[x]],id[x],z);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])
{
swap(x,y);
}
update(1,id[x],id[y],z);
}
对子树进行操作
根据DFS预处理DFS序进行
节点x的子树在维护时的范围是id[x]到id[x]+siz[x]-1
然后就直接用线段树来搞啦
void change_son(int x,int y)
{
update(1,id[x],id[x]+siz[x]-1,y);
}
void sum_son(int x)
{
cout<<query(1,id[x],id[x]+siz[x]-1)<<endl;
}
模板の代码
点击查看代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
inline int read()
{
int w=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0' || ch>'9')
{
if(ch=='-')
{
f=-1;
}
ch=getchar();
}
while(ch>='0' && ch<='9')
{
w=(w<<3)+(w<<1)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return w*f;
}
int n,m,r,mod;
int tot;
int head[maxn];
struct s_t
{
int l;
int r;
int val;
int add;
}t[maxn*4];
struct edge
{
int to;
int next;
int val;
}e[maxn*2];
int top[maxn];
int max_son[maxn];
int id[maxn];
int val[maxn];
int deep[maxn];
int siz[maxn];
int fa[maxn];
void add(int x,int y)
{
tot++;
e[tot].to=y;
e[tot].next=head[x];
head[x]=tot;
}
void dfs_first(int x,int y)
{
siz[x]=1;
deep[x]=deep[y]+1;
fa[x]=y;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v==y)
{
continue;
}
dfs_first(v,x);
siz[x]+=siz[v];
if(siz[v]>siz[max_son[x]])
{
max_son[x]=v;
}
}
}
void dfs_second(int x,int y)
{
top[x]=y;
id[x]=++tot;
e[tot].val=val[x];
if(!max_son[x])
{
return ;
}
dfs_second(max_son[x],top[x]);
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(v!=fa[x] && v!=max_son[x])
{
dfs_second(v,v);
}
}
}
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l;
t[p].r=r;
t[p].add=0;
if(l==r)
{
t[p].val=e[l].val;
if(t[p].val>mod)
{
t[p].val%=mod;
}
return ;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
t[p].val=(t[p*2].val+t[p*2+1].val)%mod;
}
void push_down(int p)
{
if(t[p].add)
{
t[p*2].val+=(t[p*2].r-t[p*2].l+1)*t[p].add;
t[p*2+1].val+=(t[p*2+1].r-t[p*2+1].l+1)*t[p].add;
t[p*2].add+=t[p].add;
t[p*2+1].add+=t[p].add;
t[p*2].val%=mod;
t[p*2+1].val%=mod;
t[p].add=0;
}
}
void update(int p,int l,int r,int k)
{
if(l<=t[p].l && t[p].r<=r)
{
t[p].val+=(t[p].r-t[p].l+1)*k;
t[p].add+=k;
return ;
}
push_down(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
if(l<=mid)
{
update(p*2,l,r,k);
}
if(r>mid)
{
update(p*2+1,l,r,k);
}
t[p].val=(t[p*2].val+t[p*2+1].val)%mod;
}
int query(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l && t[p].r<=r)
{
return t[p].val;
}
push_down(p);
int mid=(t[p].l+t[p].r)>>1;
int sum=0;
if(l<=mid)
{
sum+=query(p*2,l,r);
sum%=mod;
}
if(r>mid)
{
sum+=query(p*2+1,l,r);
sum%=mod;
}
return sum;
}
void change(int x,int y,int z)
{
z%=mod;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
{
swap(x,y);
}
update(1,id[top[x]],id[x],z);
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])
{
swap(x,y);
}
update(1,id[x],id[y],z);
}
void get_sum(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
{
swap(x,y);
}
ans+=query(1,id[top[x]],id[x]);
ans%=mod;
x=fa[top[x]];
}
if(deep[x]>deep[y])
{
swap(x,y);
}
ans+=query(1,id[x],id[y]);
cout<<ans%mod<<endl;
}
void change_son(int x,int y)
{
update(1,id[x],id[x]+siz[x]-1,y);
}
void sum_son(int x)
{
cout<<query(1,id[x],id[x]+siz[x]-1)<<endl;
}
signed main()
{
n=read();
m=read();
r=read();
mod=read();
for(int i=1;i<=n;i++)
{
val[i]=read();
}
int x;
int y;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x=read();
int y=read();
add(x,y);
add(y,x);
}
tot=0;
dfs_first(r,0);
tot=0;
dfs_second(r,r);
build(1,1,n);
int z;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int opt=read();
if(opt==1)
{
x=read();
y=read();
z=read();
change(x,y,z);
}
if(opt==2)
{
x=read();
y=read();
get_sum(x,y);
}
if(opt==3)
{
x=read();
z=read();
change_son(x,z);
}
if(opt==4)
{
x=read();
sum_son(x);
}
}
return 0;
}
拓展 树链剖分求LCA
之前机房同学说不会树剖求LCA（就不说是谁了）
慢了a little但是比倍增、Tarjan什么的好写且好理解（个人认为）
其实还是那两个DFS+LCA
还是整条链不断跳的过程
int LCA(int x,int y)
{
while(top[x]!=top[y])
{
if(deep[top[x]]<deep[top[y]])
{
swap(x,y);
}
x=fa[top[x]];
}
return (deep[x]<deep[y]) ? x : y;
}
用三目压了下行
练习
可能是写过最长的一篇博客 虽然大部分都是代码水博
人生はどんなに苦しいのか、だからコーヒーはせめて甘いほうがいい
