[笔记]Dijkstra算法正确性证明

最近做了一些题，感觉对算法更深刻的理解是比套板子更深层次的，在这个层次上解决问题，思路会更加清晰。比如P5687 [CSP-S2019 江西] 网格图（题解）这道题就是网格图的最小生成树，解法就建立在普通Kruskal的基础上，当时想了挺久也没想出来，看了题解才豁然开朗。所以各算法总是要回顾回顾的~

除了做题，没事想一想算法的工作原理，也会对算法有更深的理解。以后我会多写一些对一些算法的剖析和理解（可能并不是特别严谨，主要以可读性为主，以供随时回顾）。

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Dijkstra的算法全过程

• 初始定义\(S=\varnothing,T=V\)。
• 重复下列操作，直到\(T=\varnothing\)：
  • 从\(T\)中找到到\(S\)距离最近的节点\(u\)，此时\(u\)的最短路确定。
  • 将\(u\)从\(T\)中取出，转入\(S\)，并对\(u\)的邻接节点进行松弛操作。

Dijkstra正确性证明

对于节点\(u\)，我们要证明它加入\(S\)时，我们确定下来的最短路是实际的最短路。

反证，假设在操作\(1\)结束后，有\(x\in T\)，使得存在\(T\rightarrow\dots\rightarrow x\rightarrow u\)，使得\(dis[x]+v<dis[u]\)，由于边权\(v\)非负，所以一定有\(dis[x]<dis[u]\)，那么\(x\)一定提前于\(u\)进入\(T\)并对\(u\)进行松弛了，与\(x\notin T\)矛盾。

同时这也解释了Dijkstra为什么不能处理负权边：如果存在负权边，我们就不能推出\(dis[x]<dis[u]\)。

以前有段时间疑惑过为什么不能让所有边都加某个值来去除负权边，然而这样很显然是错误的：