[题解]P11233 [CSP-S 2024] 染色

P11233 [CSP-S 2024] 染色

\(f[i][j=0/1]\)表示涂到第\(i\)位,且第\(i\)为颜色为\(j\),则考虑用\(i\)之前能和\(i\)匹配的位置\(p\)进行转移。\(p\)需要满足下面的条件:

  • \(a[p]=a[i]\)
  • \(p\)的颜色为\(j\)
  • \([p+1,i-1]\)之间的颜色全\(j\)

显然,我们只需要找满足条件的最大\(p\)即可,否则答案一定不是最优。所以我们直接维护\(lst[i]=p\)\(i\)前面满足条件\(1\)的最大,要想满足条件\(3\),我们还需要维护\(g[l][r]\)表示\(l,r\)这个区间全部同色时,该区间的答案,具体求法:

\[g[i][j]=\begin{cases} 0&j\le i\\ g[i][j-1]+a[i]\times [a[i-1]=a[i]]&j>i \end{cases}\]

然后有\(f\)的转移(\(p\neq 0\)时):

\[f[i][0]=\max(f[i-1][0],f[p+1][0]+a[i]+g[p+1][i-1])\\ f[i][1]=\max(f[i-1][1],f[p+1][1]+a[i]+g[p+1][i-1])\]

为什么是\(f[p+1]\)而不是\(f[p]\)?因为如果用\(f[p]\)来转移,就不能制约\([p+1,i-1]\)的颜色和\(i,p\)不同了。

然后可以注意到\(0\)\(1\)是对称的,所以砍掉第二维是可以的。

点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define N 200010
using namespace std;
int t,n,a[N],lst[N],f[N],g[2002][2002];
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>t;
while(t--){
memset(lst,0,sizeof lst);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
g[i][j]=g[i][j-1]+a[j]*(a[j-1]==a[j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=f[i-1];
if(lst[a[i]]) f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+g[lst[a[i]]+1][i-1]);
lst[a[i]]=i;
}
cout<<f[n]<<"\n";
}
return 0;
}

时空复杂度都是\(O(n^2)\)的,瓶颈在于预处理\(g\)。不难发现可以只保留\(g[0]\)作为\(sum\),然后用前缀和的思想,将\(g[x][y]\)转为\(sum[y]-sum[x]\)即可。这是因为区间同色必须要求匹配的位置连续,而\(sum[x]\)表示\((1,2)\sim(x-1,x)\)的答案,\(sum[y]\)则表示\((1,2)\sim(y-1,y)\)的答案,两者相减就是\((x,x+1)\sim(y-1,y)\)的答案。

注意\(lst[i]=i-1\)时,区间会出现\(x>y\)的情况,此时注意与\(0\)\(\max\)

时空复杂度都为\(O(n)\)

点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define V 1000010
#define N 200010
using namespace std;
int t,n,a[N],lst[V],f[N],g[N];
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>t;
while(t--){
memset(lst,0,sizeof lst);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
for(int i=2;i<=n;i++) g[i]=g[i-1]+a[i]*(a[i-1]==a[i]);
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i]=f[i-1];
if(lst[a[i]]){
f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+max(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1],0ll));
}
lst[a[i]]=i;
}
cout<<f[n]<<"\n";
}
return 0;
}

\(19\)行,PassName的题解
f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+g[i]-g[lst[a[i]]+1]);
代替了
f[i]=max(f[i],f[lst[a[i]]+1]+a[i]+max(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1],0ll));
这样也是可以的,因为:

  • \(a[i]=a[i-1]\)时,\(g[i]-g[lst[a[i]]+1]=g[i]-g[i]=0\),而\(g\)是单调不降的,所以\(g[i-1]-g[lst[a[i]]+1]\le 0\),取\(\max\)后同样\(=0\)
  • \(a[i]\neq a[i-1]\)时,又有\(g[i]=g[i-1]\),又\((lst[a[i]]+1)\le (i-1)\),所以\(g[lst[a[i]]+1]\le g[i-1]\),自然两式也相等。

感谢hanss6在此写法的理解上给我的帮助。

posted @   Sinktank  阅读(44)  评论(0编辑  收藏  举报
相关博文:
阅读排行:
· 微软正式发布.NET 10 Preview 1:开启下一代开发框架新篇章
· 没有源码,如何修改代码逻辑?
· PowerShell开发游戏 · 打蜜蜂
· 在鹅厂做java开发是什么体验
· WPF到Web的无缝过渡:英雄联盟客户端的OpenSilver迁移实战
2025-2-27 20:56:27 TOP-BOTTOM-THEME
Enable/Disable Transition
Copyright © 2023 ~ 2024 Sinktank - 1328312655@qq.com
Illustration from 稲葉曇『リレイアウター/Relayouter/中继输出者』,by ぬくぬくにぎりめし.
点击右上角即可分享
微信分享提示