[题解]P7077 [CSP-S2020] 函数调用
题意简述
给定一个长度为\(n\)的序列\(a_1,a_2,\dots,a_n\)，给定\(m\)个函数，每个函数可能是下面\(3\)种类型，用\(T_x\)表示函数\(x\)的类型：
- \(T_x =1\)，对下标\(p\)增加\(v\)。
- \(T_x =2\)，对所有元素乘\(v\)。
- \(T_x =3\)，由若干类型\(1\)和类型\(2\)组成的复合函数，按顺序执行。
给定初始序列和每个函数的定义，最后给定一个调用序列，你需要按顺序调用完该序列所有函数后输出序列。
思路分析
我们把函数看作节点，调用关系看作有向边（调用连向被调用），因为没有递归调用，所以这是一个DAG（有向无环图）。
由于乘法是区间的，所以最终每个\(a_i\)都可以表示为\(a_i\times k+b_i\)。其中\(k\)就是函数序列中每个函数的\(mul\)值之积，其中\(mul_i\)的定义如下：
- \(i\)是类型\(1\)函数：\(mul_i=1\)。
- \(i\)是类型\(2\)函数：\(mul_i=v\)。
- \(i\)是类型\(3\)函数：\(mul_i=\prod\limits_{i\rightarrow j} mul_j\)。
这样\(k\)就计算出来了。
我们接下来要计算\(b_i\)，那么需要知道每个\(1\)类函数被执行了多少次，我们记第\(1\)类函数\(x\)被执行的次数为\(cnt_x\)，那么\(b_i=\sum\limits_{T_{_j}=1,p_{_j}=i}v_j\times cnt_j\)。
先考虑没有类型\(2\)函数的情况，我们只需要对于调用的每个函数\(i\)，将\(cnt_i \leftarrow cnt_i +1\)，然后再DAG上递推，把父节点的\(cnt\)推给子节点即可。最后对于每个叶子结点（类型\(1,2\)的函数）中类型为\(1\)的函数\(i\)，将\(cnt_i\times v_i\)加给\(p_i\)即可。
如果有类型\(2\)函数，我们推给子节点的\(cnt\)可能会乘上一个系数，假设我们当前遍历到节点\(u\)，有\(s\)个子节点，对于第\(i\)个子节点\(son_i\)，\(u\)对\(son_i\)的贡献是\(cnt_u\times cur\)，其中\(cur=\prod\limits_{j=i+1}^{s} mul_i\)。这是因为后面函数的“乘”操作会影响到前面的函数。所以我们可以倒序遍历子节点，累乘贡献即可。
相应地，主函数中为\(sum\)赋初值也需要累乘贡献。
也可以这样思考：序列初始为\(0\)，第\(i\)位增加\(a_i\)作为\(n\)个函数额外放在其他函数前执行。这样输出就不用管\(a_i\times k\)了，只要输出\(b_i\)即可。
Code
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#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define mod 998244353
#define int long long
using namespace std;
int n,m,q,a[N],deg[N],fun[N];
int p[N],v[N];//存储叶子节点（操作1,2）的信息
int ord[N],tn;//ord[i]表示拓扑序为i的节点，tn为计数器
int mul[N];//mul[i]表示函数i要乘多少
int cnt[N];//cnt[i]表示函数i要执行多少次
vector<int> G[N];
queue<int> que;
void topo(){//预处理出拓扑序，方便转移
for(int i=1;i<=m;i++)
if(!deg[i]) que.push(i);
while(!que.empty()){
int u=que.front();
que.pop(),ord[++tn]=u;
for(int i:G[u]){
deg[i]--;
if(!deg[i]) que.push(i);
}
}
}
void getmul(){//自下而上计算节点的mul
for(int i=m;i>=1;i--){
int u=ord[i];
for(int j:G[u]) mul[u]=mul[u]*mul[j]%mod;
}
}
void getsum(){//自上而下计算节点的sum
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=ord[i],cur=cnt[u];
for(int j:G[u])
cnt[j]=(cnt[j]+cur%mod)%mod,
cur=cur*mul[j]%mod;
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr),cout.tie(nullptr);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++){
int op;
cin>>op;
if(op==1){
cin>>p[i]>>v[i];
mul[i]=1;
}else if(op==2){
cin>>v[i];
mul[i]=v[i];
}else{
int c,v;
cin>>c;
mul[i]=1;
while(c--){
cin>>v;
G[i].emplace_back(v);
deg[v]++;
}
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) reverse(G[i].begin(),G[i].end());//倒序遍历
topo();
getmul();
cin>>q;
int cur=1;
for(int i=1;i<=q;i++) cin>>fun[i];
for(int i=q;i>=1;i--){
int u=fun[i];
cnt[u]=(cnt[u]+cur)%mod;
cur=cur*mul[u]%mod;
}
getsum();
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=a[i]*cur%mod;
for(int i=1;i<=m;i++){
if(p[i]) a[p[i]]=(a[p[i]]+v[i]*cnt[i]%mod)%mod;
}
for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<" ";
return 0;
}
