[笔记]Tarjan算法
定义
DFS树相关
我们对一个有向连通图进行DFS遍历，会得到一棵DFS树。
DFS树的形态是根据我们DFS的顺序来决定的，因此对一个有向连通图来说，它的DFS树可能有多个。我们把这棵树的边称作树边。
其他边我们分为\(3\)类：
- 前向边：从\(u\)到它dfs树上的祖先的边。
- 后向边：从\(u\)到它dfs树上的后代的边。
- 交叉边：除了前向边、后向边，剩下就是交叉边了。
容易发现，两颗子树之间的交叉边是单向的——如果子树\(A\)比子树\(B\)先遍历，那么一定不存在\(A\)到\(B\)的交叉边。
强连通分量
称一个有向图是强连通的，当且仅当任意两个节点可以互相到达。
强连通分量就是一个有向图的强连通子图。
割点&割边
对于一个无向图，如果删除该点会增加该图的连通分量，则称该点为该无向图的割点/割顶。
相应地，如果删除一条边会增加图的连通分量，则称该边为该无向图的割边/桥。
显然，割点和割边都不一定是唯一的。
Tarjan算法求强连通分量
Tarjan算法用一次DFS完成，用\(1\)个栈来存储当前遍历过的节点中，还没找到强连通分量的节点。
我们为节点\(i\)定义\(2\)个属性：
- \(dfn[i]\)：节点\(i\)的时间戳，即\(i\)是第几个被搜索到的节点。
- \(low[i]\)：节点\(i\)通过至多\(1\)条非树边，能到达的在栈中的节点的最小时间戳。
接下来任意选定\(1\)个节点开始DFS，遍历到的每个节点入栈，并初始化\(dfn[i]=low[i]\)，都为该节点被遍历的次序\(tim\)（也称作时间戳）。对于节点\(u\)，枚举它能直接到达的节点\(i\)：
- 如果\(i\)未被访问：那么对\(i\)进行搜索；由于\(u\)能直接到达\(i\)，所以根据定义，\(low[u]=\min(low[u],low[i])\)。
- 如果\(i\)被访问过：说明\(u\)通过一条非树边到达\(i\)。
- 如果\(i\)在栈中：根据定义，\(low[u]=\min(low[u],dfn[i])\)。
- 如果\(i\)不在栈中：说明\(i\)所在的强连通分量已经被找到，所以什么也不用做。
如果完成节点\(u\)的搜索，发现\(dfn[u]=low[u]\)，则说明\(u\)是一个强连通分量中时间戳最小的，因此不断出栈直到\(u\)（包括\(u\)）为止，此次出栈的所有节点属于一个强连通分量。
代码：
int low[N],dfn[N],tim;//tim是不断增加的时间戳
bool vis[N];//vis[i]表示i是否在栈中
stack<int> st;
void tarjan(int x){
low[x]=dfn[x]=++tim;
st.push(x);
vis[x]=1;
for(auto i:G[x]){
if(!dfn[i]){//没访问过
tarjan(i);
low[x]=min(low[x],low[i]);
}else if(vis[i]){//访问过，且在栈中
low[x]=min(low[x],dfn[i]);
}
}
if(dfn[x]==low[x]){
while(1){
int t=st.top();
st.pop();
vis[t]=0;
if(t==x) break;
}
}
}
然而只选定\(1\)个节点不一定能处理到所有节点，因此主函数中我们要这么写：
for(int i=1;i<=n;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i);
一些问题&思考
\(\textbf{1.}\)主函数中循环的写法为什么是正确的？
首先可以发现，主函数中每完成一次搜索，栈都是空的，因为搜索过程中，如果\(i\)已经处理过了就什么都不做（情况2.2），所以强连通分量之间互不干扰，已经搜出的强连通分量，可以直接看作从图上被删掉。自然根节点的\(low\)不会得到更新，搜索结束栈会被清空，所以不会出现“处理了一半的强连通分量”。
\(\textbf{2.}\)为什么\(low\)的定义必须限制“最多经过\(1\)条非树边”，为什么是正确的？不加限制会影响正确性吗？
实际上如果不加限制的话，是没法递推的。如下图：
我们从节点\(1\)开始搜索，现在正在搜索节点\(3\)。\(3\)有一条连接\(2\)的边，如果\(low\)的定义不加限制，\(low[3]\)应该和\(low[2]\)取最小值。可是\(low[2]\)还没有求出来，它的值可能是\(1\)也可能是\(2\)，取决于搜索的顺序。这样子就有后效性了，是无法递推的。
接下来证明Tarjan算法的正确性，即“按顺序搜索，如果遇到\(low[i]=dfn[i]\)则不断出栈”是可行的。以下内容部分整理自北京大学暑期课《ACM/ICPC竞赛训练》和此AcWing博客。
假设现在完成了对子树\(u\)的搜索，现在有\(low[u]=dfn[u]\)，我们可以把除\(u\)以外的所有点分成\(5\)类：
- 没访问过的。
- 访问过，但现在不在栈中。
- 访问过，现在在栈中，\(u\)的上方。
- 访问过，现在在栈中，\(u\)的下方。
我们要证明的是“\(u\)和第\(3\)类节点构成一个强连通分量”。
即：证明\(u\)和第\(3\)类节点互相可达，而且与其他类型的节点不互相可达。
-
\(\bf{Type 1}\)：没访问过的：
我们需要证明此类节点和\(u\)不能互相到达。- 既然\(u\)的子树已经搜索完了，那么还没有访问到的节点，就是从\(u\)走不到的节点了。
-
\(\bf{Type 2}\)：访问过，但现在不在栈中：
如果我们用“此类节点属于其他强连通分量”来解释，就算是循环论证了。我们仍然需要证明此类节点和\(u\)不能互相到达。- 设该节点为\(v\)，则分类讨论一下：
- 如果\(dfn[v]<dfn[u]\)，那么从\(v\)出发一定到不了\(u\)。我们假设\(v\)能到达\(u\)，又因为\(v\)比\(u\)先遍历到，所以\(v\)一定是\(u\)的祖先节点（思考一下，如果子树\(A\)比子树\(B\)先遍历到，那么一定不存在\(A\)到\(B\)的交叉边），自然应该在栈中（\(u\)的下方），产生矛盾。
- 如果\(dfn[v]>dfn[u]\)，那么从\(v\)出发一定到不了\(u\)。因为我们刚遍历完\(u\)的子树，所以时间戳比\(u\)大的都是\(u\)的后代，自然\(v\)也是。我们设\(v\)能到达的最早节点为\(w\)（留心定义，和\(low\)不太一样）：
- 如果\(dfn[w]<dfn[u]\)，那么显然有\(low[u]<dfn[u]\)，与\(low[u]=dfn[u]\)矛盾。
如果有点蒙，你可以想象\(v\)沿着\(low[v]\)一直往上跳，直到\(low[v]<dfn[u]\)为止，此时的\(v\)仍然是\(u\)的后代，而\(u\)又是\(low[v]\)所代表节点的后代。自然\(low[u]\)会更新为\(low[v]\)。 - 如果\(dfn[w]>dfn[u]\)，那么\(v\)最远只能到\(u\)的后代\(w\)，所以到达不了\(u\)。
- 如果\(dfn[w]<dfn[u]\)，那么显然有\(low[u]<dfn[u]\)，与\(low[u]=dfn[u]\)矛盾。
- 设该节点为\(v\)，则分类讨论一下：
-
\(\bf{Type 3}\)：访问过，现在在栈中，\(\bf{u}\)的上方：
证明此类节点和\(u\)能互相到达。-
这类节点因为是\(u\)的后代，所以\(u\)可以到达它们；反过来，这些节点可以到达\(u\)吗？是可以的。如果此类节点\(v\)能到达的最早节点是\(w\):
- \(dfn[w]<dfn[u]\)，和\(\bf{2.2.1}\)情况类似，会出现矛盾。
- \(dfn[w]>dfn[u]\)，和\(\bf{2.2.2}\)类似，那一定在\(u\)搜索完之前被出栈出去了，与“在栈中”矛盾。
上面两种情况都不存在，因此所有\(v\)都能到达\(u\)。
-
-
\(\bf{Type 4}\)：访问过，现在在栈中，\(\bf{u}\)的下方：
证明此类节点不能和\(u\)互相到达。这些点时间戳一定比\(u\)小，如果\(u\)能到达它们之中任何一个，就有\(low[u]<dfn[u]\)，与\(low[u]=dfn[u]\)矛盾。
综上\(u\)只和第\(3\)类节点互相连通，故可行性得证。
\(\textbf{3.}\)似乎“访问过，在栈中”这种情况，用\(low[i]\)更新\(low[x]\)也是可行的？
对于求强连通分量和割边，这样写是可行的。但是对于割点，是不可行的，这个后面会说到。
无论如何，这种写法是不符合\(low\)的定义的，所以不建议这么写。
Tarjan算法求割点
- 对于非根节点\(u\)，如果它存在一个子节点\(i\)，使得\(low[i]\ge dfn[u]\)，则\(u\)是割点。
- 对于根节点\(u\)，如果它的子节点个数\(\ge 2\)，则\(u\)是割点。
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++tim;
int ch=0;
for(int i:G[u]){
if(!dfn[i]){
ch++;
tarjan(i);
low[u]=min(low[u],low[i]);
if(u!=root&&low[i]>=dfn[u]) is[u]=1;
}else low[u]=min(low[u],dfn[i]);
}
if(u==root&&ch>=2) is[u]=1;
}
Tarjan算法求割边
和求割点非常相似，但不用考虑根节点的问题，对于节点\(u\)，如果子节点\(i\)满足\(low[i]>dfn[u]\)（注意不是\(\ge\)），那么\(u\)到\(i\)这条边是割边。
还需要注意的是，指向父节点的边不能考虑，因为要判断的就是这条边是否为割边。
void tarjan(int u,int fa){
dfn[u]=low[u]=++tim;
for(int i:G[u]){
if(i==fa) continue;
if(!dfn[i]){
tarjan(i,u);
low[u]=min(low[u],low[i]);
if(low[i]>dfn[u]) cout<<u<<" <-> "<<i<<" 是割边\n";
}else low[u]=min(low[u],dfn[i]);
}
}
用\(low\)和\(dfn\)更新的说明
当\(u\)的子节点\(i\)已经遍历过，就用\(dfn[i]\)去更新\(low[u]\)。如果这一步换成\(low[i]\)去更新，在强连通分量和割边是不会出问题的，而割点会出问题。
对于强连通分量来说，我们关注的是一个节点的\(dfn\)和\(low\)是否相等。当一个节点可以到达一个\(dfn\)更小的节点时，就注定了它不能成为那个出栈的节点。所以用\(low\)去更新只会让\(low[u]\)更小，而不会使\(low[u]=dfn[u]\)。
对于割边，由于是无向图，所以我们可以得知，如果\(u\)的子树\(A\)比子树\(B\)先遍历，那么\(A\)和\(B\)之间一定不存在边。换句话说无向图的DFS树没有交叉边。所以\(u\)的子节点\(i\)能到达的比\(u\)时间戳更小的节点只能是自己的祖先节点，而我们已经规定不能经过到父节点的边，所以这个节点一定也是\(u\)的祖先节点。如果这个节点存在，那么\(low[i]<dfn[u]\)，无论是用\(low\)还是\(dfn\)更新\(low[i]\)只可能让它更小，不影响结果；反之，如果该节点不存在，那么两种写法都是\(low[i]\ge dfn[u]\)，此时\(u\leftrightarrow i\)不是割边。
对于割点，修改成用\(low\)更新后，\(low[i]<u\)可能会表示节点\(i\)经过\(u\)才到达其他节点，所以不能确定\(i\)在不经过点\(u\)的情况下，还能不能到达时间戳更小的节点，因此会存在割点没有被找出的情况（可以把上面的那张图看作无向图理解一下，错误的做法可能求不出割点）。
