[题解]P2672 [NOIP2015 普及组] 推销员

P2672 [NOIP2015 普及组] 推销员

为了便于操作，将住户信息按疲劳值从大到小排序。

那么对于选\(X\)个住户，有\(2\)种情况：

• 选疲劳值前\(X\)大的住户，答案即为\(\sum\limits_{i=1}^X a[i] + 2\times \max\limits_{i=1}^X s[i]\)。
• 选疲劳值前\(X-1\)大的住户，然后在剩下的住户中，距离比前\(X-1\)个住户都远的住户里面选出一个住户\(k\)，使得\(2\times s[k]+a[k]\)最大，答案即为\(\sum\limits_{i=1}^{X-1} a[i]+(a[k]+2\times s[k])\)。

  为什么要限制\(k\)必须比其他\(X-1\)个住户都远呢？
  其实不限制是没有影响的，不过如果\(k\)在前\(X-1\)个住户前边的话，答案显然不会比第\(1\)种情况优，为了更清晰就不参与考虑了。

为什么不考虑选疲劳值前\(X-2\)大，然后在剩下住户中选前\(2\)大？
假设我们选的\(2\)个是\(k\)和\(l\)（不妨设\(l\)距离更大），那么此时的答案就是\(\sum\limits_{i=1}^{X-2} a[i]+(a[k]+a[l]+2\times s[l])\)，还不如不选\(k\)呢。

\(X-3\)等情况同理。

为了更清晰地理解，把两种情况画出关系图来，大概是这样：

两者包含了所有情况，所以正确性能得到保证。

代码实现上，对于每个\(X\)，把上面\(2\)中情况取最大值即可。注意要用前缀和&最大值数组提前维护，否则会超时。

第\(2\)种情况虽然说限制\(k\)必须更远，但代码不必特意去判断，主要是因为上面已经分析了，就算不限制答案也不会有影响，所以\(k\)就取\([X,n]\)，取最大值即可（需要后缀最大值数组维护，否则会超时）。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define int long long
using namespace std;
struct house{int s,a;}a[N];
int n,sum[N],maxdis[N],maxx[N];
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].s;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].a;
	sort(a+1,a+1+n,[](house a,house b){return a.a>b.a;});
	for(int i=1;i<=n;i++)
		sum[i]=sum[i-1]+a[i].a;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		maxdis[i]=max(maxdis[i-1],a[i].s);
	for(int i=n;i>=1;i--)
		maxx[i]=max(maxx[i+1],2*a[i].s+a[i].a);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		cout<<max(sum[i]+2*maxdis[i],sum[i-1]+maxx[i])<<"\n";
	return 0;
}