[题解]P3187 [HNOI2007] 最小矩形覆盖

P3187 [HNOI2007] 最小矩形覆盖

调了半天居然是因为没判断浮点精度误差才\(\colorbox{IndianRed}{\texttt{\color{White}{WA}}}\)了\(3\)个点，其他都没有问题！警钟长鸣……

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首先有一个结论：凸多边形的最小外接矩形一定和它的一条边重合。

这个结论，网上几乎找不到完整的证明，目前发现较为清晰的证明是2008年的一篇 一个求解多边形最小面积外接矩形的算法论文（第\(3\)页）。然而这个证明不完整，没有考虑\(4\)个交点的情况中，\(\angle\gamma\)和\(\angle\alpha\)不在对角线划分区域的同一个，如下图：

这种情况仍然能用\(\alpha\)和\(\gamma\)表示出矩形面积，但在这个表达式的取值范围内，面积并不是单调的……总之如果能证出这种情况，整个命题就得证了。大家如果有想法可以发在评论区。

upd 2024/10/25：突然想起一个月前在学校应该是证出来了，明天会把证明放上来，如果到时候还没更新请提醒我。

\(\bf{Proof:}\)

我们分类讨论凸多边形与矩形的位置关系：\(2\)点、\(3\)点、\(4\)点在矩形上。我们将说明，在不和矩形有重合边的情形下，面积一定可以调整到更小。

• \(2\)点在矩形上：显然如果这两点不是矩形对角顶点，一定可以通过调整让面积更小，故在此只讨论两点是对角顶点的情况。
  
  如上图，设两点连线为\(a\)，对角线与矩形长边夹角为\(\alpha\)。则矩形面积

  \[\begin{aligned} &=(a\sin\alpha)\times(a\cos\alpha)\\ &=a^2 \sin\alpha\cos\alpha\\ &=\frac{1}{2}a^2\sin 2\alpha \end{aligned}\]

  结合\(y=\sin x\)的函数曲线可以得知，该式在\(\alpha\in[0,\frac{\pi}{4}]\)时递增，而\(\alpha\)的取值范围是\((0,\frac{\pi}{4})\)，由于没有边和矩形重合，所以\(\alpha\)一定可以取到更小的值，直到与长边重合为止。

• \(3\)点在矩形上：与上一条类似的原因，我们只讨论一个顶点与矩形顶点重合的情况。
  
  如上图，设与矩形顶点重合的点向另外\(2\)点的连线为\(a,b\)，与矩形的夹角分别是\(\alpha,\beta\)，不妨设\(\beta\ge\alpha\)，则矩形面积

  \[\begin{aligned} &=(a\cos\alpha)\times(b\cos\beta)\\ &=\frac{1}{2}ab[\cos(\alpha+\beta)+\cos(\beta-\alpha)] \end{aligned}\]

  其中\(\alpha+\beta\)是固定值，因此面积只与\(\beta-\alpha\)有关。显然\(\beta-\alpha\in[0,\frac{\pi}{2})\)，而\(\cos(\beta-\alpha)\)在\((\beta-\alpha)\in[0,\frac{\pi}{2}]\)递减，所以我们通过旋转让\(\beta-\alpha\)增大，一定会让矩形面积更小。

• \(4\)点在矩形上：为了没有边和矩形重合，这\(4\)个点必须分布在矩形的\(4\)条边上。
  
  如上图，设对边上点的连线分别是\(a,b\)，\(a,b\)与矩形夹角分别是\(\alpha,\beta\)，不妨设\(\alpha,\beta\le 90^\circ,\alpha\le\beta\)（注意\(\alpha,\beta\)不一定像上图一样同侧），则矩形面积

  \[\begin{aligned} &=(a\sin\alpha)\times(b\sin\beta)\\ &=\frac{1}{2}ab[\cos(\beta-\alpha)-\cos(\alpha+\beta)] \end{aligned}\]

  其中\(\alpha+\beta\)是固定值，显然\(\beta-\alpha\in[0,\frac{\pi}{2})\)，同上，通过旋转让\(\beta-\alpha\)增大，一定能让矩形面积更小。

大概是这样……完全忘记之前的证明了……从头重新捋了一遍，好像思路比之前推的简单很多？如有错误请指出。

等到学校找到以前的草稿纸再说。

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根据这个结论，我们就可以枚举那条和矩形边重合的边\(a\)。进而找到离这条边最远的点，作为矩形的上边界；在垂直于边\(a\)方向上，找左右最远的两点，作为矩形的左、右边界即可。

找左右边界如果和边\(a\)进行比较的话，可以用点积：

\[\vec{a}\cdot\vec{b}=|a||b|\cos{\angle(\vec{a},\vec{b})} \]

因此\(\vec{a},\vec{b}\)同向，即\(|\angle(\vec{a},\vec{b})|<\frac{\pi}{2}\)的话，点积\(>0\)。反向则\(<0\)，垂直则\(=0\)。

用叉积的话也可以，不过不能和\(a\)做，而是和与\(a\)垂直的向量做（代码用的这种方法）。

与旋转卡壳类似地，随着枚举的边\(a\)的旋转，其他边界顶点仅需从上一次的位置开始移动即可。

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找到边界后我们还需要求出四边形的底，高（底就是和边\(a\)重合的那一条边）。高就是\(S\div a\)，其中\(S\)是\(\vec{a}\)与上边界形成的平行四边形面积。底的求法详细说一下：

为什么投影长度能转换成点乘呢？因为\(\vec{u}\cdot\vec{a}\)的定义就是\(\vec{u}\)在\(\vec{a}\)上投影的长度再乘\(|\vec{a}|\)嘛，所以再除掉一个\(|\vec{a}|\)就是投影长度了。

为什么要减去呢？因为\(\vec{v}\)的投影长度相对\(\vec{a}\)来说是负数，因此需要变成减号。

点乘公式：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_a x_b+y_a y_b\)。

注：代码实现中求的是顺时针的凸包，所以\(\vec{a}\)是顺时针的，和图中不一样，自然长度的左减右需要变成右减左。

得到长度之后，四个顶点坐标自然就好求了，具体见代码。

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注意精度问题！

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define nxtnode(x) ((x%top)+1)
#define eps 1e-6
#define N 50010
using namespace std;
struct vec{
	double x,y;
	vec operator+(const vec b){return {x+b.x,y+b.y};}
	vec operator-(const vec b){return {x-b.x,y-b.y};}
	vec operator*(const double b){return {b*x,b*y};}
	double len(){return sqrt(x*x+y*y);}
}a[N],minans[4];//左下，右下，右上，左上
bool cmp(vec a,vec b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
inline double cross(vec a,vec b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
inline double dot(vec a,vec b){return a.x*b.x+a.y*b.y;}
int n,st[N],top;
double minn=1e8;
void convex_hull(){//顺时针凸包
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	st[top=1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		while(top>1&&cross(a[st[top]]-a[st[top-1]],a[i]-a[st[top]])>-eps)
			top--;
		st[++top]=i;
	}
	int tmp=top;
	for(int i=n-1;i>=1;i--){
		while(top!=tmp&&cross(a[st[top]]-a[st[top-1]],a[i]-a[st[top]])>-eps)
			top--;
		st[++top]=i;
	}
	top--;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].x>>a[i].y;
	convex_hull();
	int to=1,le=1,ri;
	//to上边界，le左边界，ri右边界
	for(int i=1;i<=top;i++){
		vec bo=a[st[nxtnode(i)]]-a[st[i]];//枚举重合的边
		double len=bo.len();
		vec vert={bo.y/len,-bo.x/len};//垂直于bo，长度为1的向量
		while(cross(bo,a[st[to]]-a[st[i]])-cross(bo,a[st[nxtnode(to)]]-a[st[i]])>-eps)
			to=nxtnode(to);//找上边界
		if(i==1) ri=to;//注意必须赋初值为to，否则ri就卡在第1个点不动了
		while(cross(a[st[le]]-a[st[i]],vert)-cross(a[st[nxtnode(le)]]-a[st[i]],vert)>-eps)
			le=nxtnode(le);//找左边界
		while(cross(a[st[ri]]-a[st[i]],vert)-cross(a[st[nxtnode(ri)]]-a[st[i]],vert)<eps)
			ri=nxtnode(ri);//找右边界
		double lb=dot(a[st[le]]-a[st[i]],bo)/len,rb=dot(a[st[ri]]-a[st[i]],bo)/len;//用点积计算投影长度
		double W=cross(a[st[to]]-a[st[i]],bo)/len,L=lb-rb;//高，底
		if(W*L<minn){
			minn=W*L;
			minans[0]=bo*(lb/len)+a[st[i]],minans[1]=bo*(rb/len)+a[st[i]];
			minans[2]=minans[1]+vert*W,minans[3]=minans[0]+vert*W;
		}
	}
	cout.setf(ios_base::fixed);
	cout.precision(5);
	cout<<minn<<"\n";
	for(int i=0;i<4;i++)
		cout<<minans[i].x<<" "<<minans[i].y<<"\n";
	return 0;
}