[题解]P2042 [NOI2005] 维护数列 - Splay解法

P2042 [NOI2005] 维护数列

一道思路不难，但实现细节很多的平衡树题，调了一天半终于做出来了w。

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对于初始序列，我们可以直接构建一条链（毕竟一个一个调用插入函数也可能形成一条链）。题解有递归直接构建成一棵严格平衡的二叉树的，这样也可以，常数可能会小一点。

其中区间反转就是裸的文艺平衡树（题解）。

区间修改&求和与文艺平衡树的原理相同，只需要多加\(1\)个赋值的懒标记即可。

删除都是区间操作。我们受文艺平衡树的启发，找到区间的左右端点\(l,r\)，然后再找到\(l\)在中序遍历中的前驱节点\(L\)，\(r\)在中序遍历中的后继节点\(R\)，splay(L,0)，在splay(R,L)，这样\(R\)的左子树就是要操作的区间\([l,r]\)了。删除\([l,r]\)区间，直接断开\(R\)与其左子树的连接即可。

插入同样是区间操作，我们可以把输入的值连成一条链（或构建成一棵严格平衡的二叉树），然后找我们要插入的位置是哪一个节点，设要插入的位置为\(pos\)之后，那么找到的节点\(u\)就是中序遍历第\(pos\)个节点。我们再寻找\(u\)的后继节点，把这条链接到后继它上面就可以了（别忘了无右儿子的情况）。

平衡树维护最大子列和其实不难，但这道题有个很毒的坑点：子列不能为空，然而题面却没有给出！

每个节点\(u\)额外维护\(3\)个信息：

• \(lmax\)：子树\(u\)的中序遍历的最大前缀（可以为空）。
• \(rmax\)：子树\(u\)的中序遍历的最大后缀（可以为空）。
• \(maxx\)：子树\(u\)的中序遍历的最大子列和（不能为空）。

初始化（\(sum\)表示子树权值和）：
\(maxx(u)=v(u)\\lmax(u)=rmax(u)=\max(v(u),0)\)

转移：

• \(\color{green}lmax(u)=\max\{lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),0\}\)
  （如果不选\(u\)就是\(lmax(lc(u))\)，如果选\(u\)就是\(sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)，根据定义可以为空，所以还要和\(0\)取一个\(\max\)）
• \(\color{darkcyan}rmax(u)=\max\{rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u)),0\}\)
  （同理）
• \(\color{mediumblue}maxx(u)=\max\{rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),maxx(lc(u)),maxx(rc(u))\}\)
  （如果不选\(u\)就直接等于左边的答案/右边的答案，如果选\(u\)就是左边的后缀最大+\(u\)的权值+右边的前缀最大）

pushdown中的转移（set_sum）见代码。

注意到转移的第\(3\)个式子中，\(rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)是选\(u\)的情况，所以前后缀可以为空。

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其实就这些了，思路不难，不过代码实现有很多需要注意。如果遇到问题可以查一下：

• 子列不能为空。
• 两个哨兵值要置为\(0\)，否则计算\(sum\)可能会出问题。
• 一定一定要pushdown，在查找第\(k\)名、插入节点的过程中都要pushdown！
• 插入次数是\(4*10^6\)，如果开这么大的数组会MLE。但题目保证任何时候平衡树里不超过\(5*10^5\)个元素。我们考虑把删掉的空间重复利用：每删除一个子树，就把这个子树的根节点入栈，为插入的节点分配空间时，先看栈中有没有节点，如果有，则把该节点拿出来，把它的左右子节点（如果有）入栈。没有必要删除后一次性把删掉的节点都入栈。
• 区间翻转需要lmax和rmax交换位置。
• 和线段树相似地，下放标记时对左儿子、右儿子操作，而非自己。拿计算\(sum\)来距离，pushdown(x)应该是更新左右孩子的\(sum\)，而自己的\(sum\)应该在主函数中完成设置。其他同理。这应该作为写pushdown的一个习惯。因为代码中，很有可能调用pushdown(x)后就去获得\(x\)子节点的各种信息（比如ins函数中pushdown(u)后就去获取\(lc(rc(u))\)），所以必须保证子节点状态得到更新。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500010
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
#define ch(x,y) tr[x].ch[y]
#define fa(x) tr[x].fa
#define v(x) tr[x].v
#define siz(x) tr[x].siz
#define tag(x) tr[x].tag
#define tag2(x) tr[x].tag2
#define sum(x) tr[x].sum
#define lmax(x) tr[x].lmax
#define rmax(x) tr[x].rmax
#define maxx(x) tr[x].maxx
using namespace std;
struct tree{
	int ch[2],siz,fa,v,tag2,sum;
	int lmax,rmax,maxx;
	bool tag;
	void init(){ch[0]=ch[1]=siz=fa=v=lmax=rmax=maxx=tag=0;tag2=LLONG_MIN;}
}tr[N];
int n,m,cnt,root,nodecnt;
stack<int> fr;
void init(int u){tr[u].init();}
int newnode(int v,int siz=1){
	int u;
	if(fr.empty()) u=++cnt;
	else{
		u=fr.top(),fr.pop();
		if(lc(u)) fr.push(lc(u));
		if(rc(u)) fr.push(rc(u));
	}
	init(u);
	sum(u)=v(u)=maxx(u)=v,siz(u)=siz;
	lmax(u)=rmax(u)=max(v,0ll);
	return u;
}
void update(int u){
	siz(u)=siz(lc(u))+siz(rc(u))+1;
	sum(u)=sum(lc(u))+v(u)+sum(rc(u));
	lmax(u)=max(max(lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))),0ll);
	rmax(u)=max(max(rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u))),0ll);
	maxx(u)=rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u));
	if(lc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(lc(u)));
	if(rc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(rc(u)));
}
bool get(int u){return u==rc(fa(u));}
void rot(int x){
	int y=fa(x),z=fa(y);//保证y!=0
	bool dir=get(x),tdir=get(y);
	if(ch(x,!dir)) fa(ch(x,!dir))=y;
	ch(y,dir)=ch(x,!dir);
	ch(x,!dir)=y;
	fa(y)=x,fa(x)=z;
	if(z) ch(z,tdir)=x;
	update(y),update(x);
}
void splay(int x,int y){
	for(int f;(f=fa(x))!=y;rot(x))
		if(fa(f)!=y) rot(get(f)==get(x)?f:x);
	if(!y) root=x;
}
void set_sum(int x,int v){//用于pushdown和主函数
	tag2(x)=v,v(x)=v,sum(x)=v*siz(x);
	if(v>0) lmax(x)=rmax(x)=maxx(x)=sum(x);
	else lmax(x)=rmax(x)=0,maxx(x)=v;
}
//用于pushdown和主函数
void set_rev(int x){swap(lc(x),rc(x)),swap(lmax(x),rmax(x)),tag(x)^=1;}
void pushdown(int x){
	if(tag2(x)!=LLONG_MIN){
		if(lc(x)) set_sum(lc(x),tag2(x));
		if(rc(x)) set_sum(rc(x),tag2(x));
		tag(x)=0;//相当于一个小优化，如果已经区间赋值了，那么翻转不翻转无所谓了
		tag2(x)=LLONG_MIN;
	}
	if(tag(x)){
		if(lc(x)) set_rev(lc(x));
		if(rc(x)) set_rev(rc(x));
		tag(x)=0;
	}
}
int find(int num){//找中序遍历第num个是哪个节点
	int u=root;
	while(u){
		pushdown(u);//别忘了pushdown
		if(siz(lc(u))+1==num) break;
		else if(siz(lc(u))>=num) u=lc(u);
		else num-=siz(lc(u))+1,u=rc(u);//这两句顺序别反了
	}
	return u;
}
void ins(int num,int v){//在中序第num后插入子树v
	int u=find(num+1);
	pushdown(u);//pushdown不要忘记
	int nex=rc(u);
	if(!nex) rc(u)=v,fa(v)=u,splay(u,0);
	else{
		while(lc(nex)){
			pushdown(nex);//一定记得写pushdown
			nex=lc(nex);
		}
		pushdown(nex);//这个也不要忘
		lc(nex)=v,fa(v)=nex,splay(nex,0);
	}
}
void make_range(int& l,int& r){//取出[l,r]的区间，放在lc(r)中
	l=find(l),r=find(r+2);//本来应该是l-1,r+1，但因为有哨兵节点所以需要+1
	splay(l,0),splay(r,l);//lc(r)就是要操作的部分
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n>>m;
	newnode(0,1);//两个哨兵的值都为0，否则sum计算会出问题
	for(int i=1;i<=n+1;i++){//连成一条链
		int v;
		if(i==n+1) v=0;
		else cin>>v;
		newnode(v);
		lc(cnt)=cnt-1;
		fa(cnt-1)=cnt;
		update(cnt);
	}
	root=nodecnt=n+2;//根节点不是1而是n+2
	while(m--){
		string op;
		cin>>op;
		if(op=="INSERT"){
			int pos,tot,x;
			cin>>pos>>tot;
			if(tot==0) continue;
			int cur,last;
			for(int i=1;i<=tot;i++){//把输入连成一条链
				cin>>x;
				cur=newnode(x,i);
				if(i>1) fa(last)=cur,lc(cur)=last;
				update(cur);
				last=cur;
			}
			ins(pos,cur);//cur是这条链的根节点
			nodecnt+=tot;
		}else if(op=="DELETE"){
			int l,tot,r;
			cin>>l>>tot;
			r=l+tot-1;
			make_range(l,r);
			if(lc(r)) fa(lc(r))=0,fr.push(lc(r)),lc(r)=0;//需要将子树根节点入栈
			nodecnt-=tot;
		}else if(op=="MAKE-SAME"){
			int l,tot,r,v;
			cin>>l>>tot>>v;
			r=l+tot-1;
			make_range(l,r);
			if(lc(r)) set_sum(lc(r),v);
		}else if(op=="REVERSE"){
			int l,tot,r;
			cin>>l>>tot;
			r=l+tot-1;
			make_range(l,r);
			if(lc(r)) set_rev(lc(r));
		}else if(op=="GET-SUM"){
			int l,tot,r;
			cin>>l>>tot;
			r=l+tot-1;
			make_range(l,r);
			cout<<sum(lc(r))<<"\n";
		}else if(op=="MAX-SUM"){
			int l=1,r=nodecnt-2;
			make_range(l,r);
			cout<<maxx(lc(r))<<"\n";
		}
	}
	return 0;
}