[题解]P2042 [NOI2005] 维护数列 - Splay解法
一道思路不难，但实现细节很多的平衡树题，调了一天半终于做出来了w。
对于初始序列，我们可以直接构建一条链（毕竟一个一个调用插入函数也可能形成一条链）。题解有递归直接构建成一棵严格平衡的二叉树的，这样也可以，常数可能会小一点。
区间修改&求和与文艺平衡树的原理相同，只需要多加\(1\)个赋值的懒标记即可。
删除都是区间操作。我们受文艺平衡树的启发，找到区间的左右端点\(l,r\)，然后再找到\(l\)在中序遍历中的前驱节点\(L\)，\(r\)在中序遍历中的后继节点\(R\)，splay(L,0)，在splay(R,L)，这样\(R\)的左子树就是要操作的区间\([l,r]\)了。删除\([l,r]\)区间，直接断开\(R\)与其左子树的连接即可。
插入同样是区间操作，我们可以把输入的值连成一条链（或构建成一棵严格平衡的二叉树），然后找我们要插入的位置是哪一个节点，设要插入的位置为\(pos\)之后，那么找到的节点\(u\)就是中序遍历第\(pos\)个节点。我们再寻找\(u\)的后继节点，把这条链接到后继它上面就可以了（别忘了无右儿子的情况）。
平衡树维护最大子列和其实不难，但这道题有个很毒的坑点：子列不能为空，然而题面却没有给出！
每个节点\(u\)额外维护\(3\)个信息：
- \(lmax\)：子树\(u\)的中序遍历的最大前缀（可以为空）。
- \(rmax\)：子树\(u\)的中序遍历的最大后缀（可以为空）。
- \(maxx\)：子树\(u\)的中序遍历的最大子列和（不能为空）。
初始化（\(sum\)表示子树权值和）：
\(maxx(u)=v(u)\\lmax(u)=rmax(u)=\max(v(u),0)\)
转移：
- \(\color{green}lmax(u)=\max\{lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),0\}\)
（如果不选\(u\)就是\(lmax(lc(u))\)，如果选\(u\)就是\(sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)，根据定义可以为空，所以还要和\(0\)取一个\(\max\)） - \(\color{darkcyan}rmax(u)=\max\{rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u)),0\}\)
（同理） - \(\color{mediumblue}maxx(u)=\max\{rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u)),maxx(lc(u)),maxx(rc(u))\}\)
（如果不选\(u\)就直接等于左边的答案/右边的答案，如果选\(u\)就是左边的后缀最大+\(u\)的权值+右边的前缀最大）
pushdown中的转移（set_sum）见代码。
注意到转移的第\(3\)个式子中，\(rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))\)是选\(u\)的情况，所以前后缀可以为空。
其实就这些了，思路不难，不过代码实现有很多需要注意。如果遇到问题可以查一下：
- 子列不能为空。
- 两个哨兵值要置为\(0\)，否则计算\(sum\)可能会出问题。
- 一定一定要
pushdown，在查找第\(k\)名、插入节点的过程中都要pushdown！ - 插入次数是\(4*10^6\)，如果开这么大的数组会MLE。但题目保证任何时候平衡树里不超过\(5*10^5\)个元素。我们考虑把删掉的空间重复利用：每删除一个子树，就把这个子树的根节点入栈，为插入的节点分配空间时，先看栈中有没有节点，如果有，则把该节点拿出来，把它的左右子节点（如果有）入栈。没有必要删除后一次性把删掉的节点都入栈。
- 区间翻转需要
lmax和rmax交换位置。 - 和线段树相似地，下放标记时对左儿子、右儿子操作，而非自己。拿计算\(sum\)来距离，
pushdown(x)应该是更新左右孩子的\(sum\)，而自己的\(sum\)应该在主函数中完成设置。其他同理。这应该作为写pushdown的一个习惯。因为代码中，很有可能调用pushdown(x)后就去获得\(x\)子节点的各种信息（比如ins函数中pushdown(u)后就去获取\(lc(rc(u))\)），所以必须保证子节点状态得到更新。
点击查看代码
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500010
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
#define ch(x,y) tr[x].ch[y]
#define fa(x) tr[x].fa
#define v(x) tr[x].v
#define siz(x) tr[x].siz
#define tag(x) tr[x].tag
#define tag2(x) tr[x].tag2
#define sum(x) tr[x].sum
#define lmax(x) tr[x].lmax
#define rmax(x) tr[x].rmax
#define maxx(x) tr[x].maxx
using namespace std;
struct tree{
int ch[2],siz,fa,v,tag2,sum;
int lmax,rmax,maxx;
bool tag;
void init(){ch[0]=ch[1]=siz=fa=v=lmax=rmax=maxx=tag=0;tag2=LLONG_MIN;}
}tr[N];
int n,m,cnt,root,nodecnt;
stack<int> fr;
void init(int u){tr[u].init();}
int newnode(int v,int siz=1){
int u;
if(fr.empty()) u=++cnt;
else{
u=fr.top(),fr.pop();
if(lc(u)) fr.push(lc(u));
if(rc(u)) fr.push(rc(u));
}
init(u);
sum(u)=v(u)=maxx(u)=v,siz(u)=siz;
lmax(u)=rmax(u)=max(v,0ll);
return u;
}
void update(int u){
siz(u)=siz(lc(u))+siz(rc(u))+1;
sum(u)=sum(lc(u))+v(u)+sum(rc(u));
lmax(u)=max(max(lmax(lc(u)),sum(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u))),0ll);
rmax(u)=max(max(rmax(rc(u)),sum(rc(u))+v(u)+rmax(lc(u))),0ll);
maxx(u)=rmax(lc(u))+v(u)+lmax(rc(u));
if(lc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(lc(u)));
if(rc(u)) maxx(u)=max(maxx(u),maxx(rc(u)));
}
bool get(int u){return u==rc(fa(u));}
void rot(int x){
int y=fa(x),z=fa(y);//保证y!=0
bool dir=get(x),tdir=get(y);
if(ch(x,!dir)) fa(ch(x,!dir))=y;
ch(y,dir)=ch(x,!dir);
ch(x,!dir)=y;
fa(y)=x,fa(x)=z;
if(z) ch(z,tdir)=x;
update(y),update(x);
}
void splay(int x,int y){
for(int f;(f=fa(x))!=y;rot(x))
if(fa(f)!=y) rot(get(f)==get(x)?f:x);
if(!y) root=x;
}
void set_sum(int x,int v){//用于pushdown和主函数
tag2(x)=v,v(x)=v,sum(x)=v*siz(x);
if(v>0) lmax(x)=rmax(x)=maxx(x)=sum(x);
else lmax(x)=rmax(x)=0,maxx(x)=v;
}
//用于pushdown和主函数
void set_rev(int x){swap(lc(x),rc(x)),swap(lmax(x),rmax(x)),tag(x)^=1;}
void pushdown(int x){
if(tag2(x)!=LLONG_MIN){
if(lc(x)) set_sum(lc(x),tag2(x));
if(rc(x)) set_sum(rc(x),tag2(x));
tag(x)=0;//相当于一个小优化，如果已经区间赋值了，那么翻转不翻转无所谓了
tag2(x)=LLONG_MIN;
}
if(tag(x)){
if(lc(x)) set_rev(lc(x));
if(rc(x)) set_rev(rc(x));
tag(x)=0;
}
}
int find(int num){//找中序遍历第num个是哪个节点
int u=root;
while(u){
pushdown(u);//别忘了pushdown
if(siz(lc(u))+1==num) break;
else if(siz(lc(u))>=num) u=lc(u);
else num-=siz(lc(u))+1,u=rc(u);//这两句顺序别反了
}
return u;
}
void ins(int num,int v){//在中序第num后插入子树v
int u=find(num+1);
pushdown(u);//pushdown不要忘记
int nex=rc(u);
if(!nex) rc(u)=v,fa(v)=u,splay(u,0);
else{
while(lc(nex)){
pushdown(nex);//一定记得写pushdown
nex=lc(nex);
}
pushdown(nex);//这个也不要忘
lc(nex)=v,fa(v)=nex,splay(nex,0);
}
}
void make_range(int& l,int& r){//取出[l,r]的区间，放在lc(r)中
l=find(l),r=find(r+2);//本来应该是l-1,r+1，但因为有哨兵节点所以需要+1
splay(l,0),splay(r,l);//lc(r)就是要操作的部分
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(nullptr);
cin>>n>>m;
newnode(0,1);//两个哨兵的值都为0，否则sum计算会出问题
for(int i=1;i<=n+1;i++){//连成一条链
int v;
if(i==n+1) v=0;
else cin>>v;
newnode(v);
lc(cnt)=cnt-1;
fa(cnt-1)=cnt;
update(cnt);
}
root=nodecnt=n+2;//根节点不是1而是n+2
while(m--){
string op;
cin>>op;
if(op=="INSERT"){
int pos,tot,x;
cin>>pos>>tot;
if(tot==0) continue;
int cur,last;
for(int i=1;i<=tot;i++){//把输入连成一条链
cin>>x;
cur=newnode(x,i);
if(i>1) fa(last)=cur,lc(cur)=last;
update(cur);
last=cur;
}
ins(pos,cur);//cur是这条链的根节点
nodecnt+=tot;
}else if(op=="DELETE"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) fa(lc(r))=0,fr.push(lc(r)),lc(r)=0;//需要将子树根节点入栈
nodecnt-=tot;
}else if(op=="MAKE-SAME"){
int l,tot,r,v;
cin>>l>>tot>>v;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) set_sum(lc(r),v);
}else if(op=="REVERSE"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
if(lc(r)) set_rev(lc(r));
}else if(op=="GET-SUM"){
int l,tot,r;
cin>>l>>tot;
r=l+tot-1;
make_range(l,r);
cout<<sum(lc(r))<<"\n";
}else if(op=="MAX-SUM"){
int l=1,r=nodecnt-2;
make_range(l,r);
cout<<maxx(lc(r))<<"\n";
}
}
return 0;
}
