[题解]P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

P1967 [NOIP2013 提高组] 货车运输

题意简述

给定一个\(N\)个节点，\(M\)条边的无向图，其中每条边有一个边权。

接下来给定\(q\)次询问。每次询问给出\(x,y\)，请计算\(x\)到\(y\)路径上最小边权的最大值是多少。

解题思路

我们对于每个连通块跑一遍最大生成树。这样整张图就成了一片森林。

接下来对于森林里的每一棵树，跑一遍LCA，顺便维护\(minn[pos][n]\)表示\(pos\)向上\(2^n\)层的最小边权。查询时，每跳一步更新最小边权，最终返回最小边权即可。

时间复杂度\(O(m\log m+q\log n)\)。

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#include<bits/stdc++.h>
#define N 10010
#define M 50010
using namespace std;
int n,m,q,ffa[N],dep[N],fa[N][20],minn[N][20];
//ffa用于并查集，fa用于LCA
bool vis[N];
struct tedge{int u,v,w;}edges[M];
bool cmp(tedge a,tedge b){return a.w>b.w;}
int find(int x){
	if(ffa[x]==x) return x;
	return ffa[x]=find(ffa[x]);
}
struct edge{int to,w;};
vector<edge> G[N];
void dfs(int u,int father){
	vis[u]=1;
	dep[u]=dep[father]+1;
	fa[u][0]=father;
	for(int i=1;i<20;i++)
		fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1],
		minn[u][i]=min(minn[u][i-1],minn[fa[u][i-1]][i-1]);
	for(auto i:G[u])
		if(i.to!=father){
			minn[i.to][0]=i.w;
			dfs(i.to,u);
		}
}
int lca(int u,int v){
	if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);
	int ans=INT_MAX;
	for(int i=19;i>=0;i--)
		if(dep[fa[u][i]]>=dep[v])
			ans=min(ans,minn[u][i]),
			u=fa[u][i];
	if(u==v) return ans;
	for(int i=19;i>=0;i--)
		if(fa[u][i]!=fa[v][i])
			ans=min(ans,min(minn[u][i],minn[v][i])),
			u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	ans=min(ans,min(minn[u][0],minn[v][0]));
	return ans;
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) ffa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>edges[i].u>>edges[i].v>>edges[i].w;
	sort(edges+1,edges+1+m,cmp);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=find(edges[i].u),v=find(edges[i].v);
		if(u==v) continue;
		ffa[u]=v;
		G[edges[i].u].push_back({edges[i].v,edges[i].w});
		G[edges[i].v].push_back({edges[i].u,edges[i].w});
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!vis[i]) dfs(i,0);
	cin>>q;
	while(q--){
		int x,y;
		cin>>x>>y;
		if(find(x)!=find(y)) cout<<"-1\n";
		else cout<<lca(x,y)<<"\n";
	}
	return 0;
}