[题解]P4381 [IOI2008] Island——基环树直径

P4381 [IOI2008] Island

题意：给定一个基环树森林，求每个基环树的直径之和。

我们发现，一棵基环树的直径只有下面两种情况：

• 环上的某一点作为根的子树的直径。
• 环上有两点，每个点引出一条链，然后再将这两点相连。

对于第一种情况，我们仅需用树形dp的方法求出每个子树的直径（见OI Wiki - 方法2，以后会写直径的笔记），然后比较出最大值即可。这里使用拓扑排序解决。

而第二种情况，我们首先需要记录环上每个节点\(i\)为根的子树中，从\(i\)出发的最长路径。我们将其记为\(f[i]\)（这个\(f\)正好可以用于计算情况\(1\)的子树直径）。

那么接下来我们只需要解决：在环上找到\(i,j\)两点（\(i<j,j-i<n\)），使得\(f[i]+f[j]+dist(i,j)\)最大（\(dist(i,j)\)表示\(i\)到\(j\)的最大距离）。

由于我们断环为链，所以对这条链的节点求一个距离的前缀和，即用\(dis[i]\)表示从链的左端到链的节点\(i\)的距离。如此，我们需要使\(f[i]+f[j]+dis[j]-dis[i]\)最大。

整理得\(f[j]+dis[j]+(f[i]-dis[i])\)。我们发现可以用单调队列优化。枚举右边界\(j\)，然后对于每一个\(j\)，找满足\(j-n+1\le i<j\)的最大\(f[i]-dis[i]\)即可，此时的答案是\(f[j]+dis[j]+f[i]-dis[i]\)。

实现细节：

• 开long long。
• 可能需要用较快的读入方式。
• 由于是无向图，所以拓扑排序需要稍加修改，见代码。
• 处理环的过程中可能会遇到大小为\(2\)的环。此时拆成链的操作不是很好写，可以特判一下。
• 单调队列优化时，因为\(j\ne i\)，所以遍历前应当先加入决策\(1\)，再从\(2\)开始遍历。遍历过程中，需要先更新最大值，再把当前元素入队列，具体见代码。

点击查看代码

//P4381
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
struct edge{int to,w;};
int n,deg[1000010],f[1000010],ans,cnt;
//deg[i]：i的度，用于拓扑排序
//f[i]：以i为根的子树中，从i出发的最长路径
int ff[1000010];
//ff[i]：断成链后每个点对应的的f
bool vis[1000010];
int d[500010],num[1000010],fir;
//d[i]：编号为i的连通块的答案
//num[i]：节点i所属连通块编号
int dis[1000010];
vector<edge> G[1000010];
queue<int> q;
deque<int> de;
void add(int u,int v,int w){
	G[u].push_back({v,w});
	deg[v]++;
}
void dfs(int pos){//为每个连通块编号
	if(vis[pos]) return;
	vis[pos]=1,num[pos]=cnt;
	for(auto i:G[pos]) dfs(i.to);
}
void topo(){//寻找环，并且计算子树直径
	for(int i=1;i<=n;i++) if(deg[i]==1) q.push(i);
	while(!q.empty()){
		int u=q.front();
		q.pop();
		for(auto i:G[u]){
			int v=i.to,w=i.w;
			if(deg[v]>1){//u是v的子节点
				d[num[v]]=max(d[num[v]],f[v]+f[u]+w);
				f[v]=max(f[v],f[u]+w);
				deg[v]--;
				if(deg[v]==1) q.push(v);
			}
		}
	}
}
void cycle(int pos,int cnt){//处理环
	vis[pos]=1;
	ff[cnt]=f[pos];
	bool end=1;
	int tempw=-1;
	for(auto i:G[pos]){
		int v=i.to,w=i.w;
		if(v==fir) tempw=w;
		if(vis[v]||deg[v]==1) continue;
		dis[cnt+1]=dis[cnt]+w,end=0;
		cycle(v,cnt+1);
		break;
	}
	if(end){
		int tnum=num[fir];
		if(cnt==2){//特判2个节点的环
			for(auto i:G[pos]){
				int v=i.to,w=i.w;
				if(v==fir) d[tnum]=max(d[tnum],w+f[pos]+f[v]);
			}
			return;
		}
		for(int i=cnt+1;i<=2*cnt-1;i++){
			if(i==cnt+1) dis[i]=dis[i-1]+tempw;
			else dis[i]=dis[i-1]+dis[i-cnt]-dis[i-cnt-1];
			ff[i]=ff[i-cnt];
		}
		de.clear();
		de.push_back(1);
		for(int i=2;i<=2*cnt-1;i++){
			if(!de.empty()&&i-de.front()>=cnt) de.pop_front();
			d[tnum]=max(d[tnum],ff[i]+dis[i]+ff[de.front()]-dis[de.front()]);
			while(!de.empty()&&ff[i]-dis[i]>=ff[de.back()]-dis[de.back()])
				de.pop_back();
			de.push_back(i);
		}
	}
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(nullptr);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u,w;
		cin>>u>>w;
		add(i,u,w),add(u,i,w);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)//为每个连通块编号
		if(!vis[i]) ++cnt,dfs(i);
	topo();//计算情况1
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1;i<=n;i++)//计算情况2
		if(!vis[i]&&deg[i]!=1) fir=i,cycle(i,1);
	for(int i=1;i<=cnt;i++) ans+=d[i];
	cout<<ans;
	return 0;
}