[笔记]分组背包

于 2024/11/25 修改分类 题解 \(\Longrightarrow\) 笔记。

P1757 通天之分组背包

分组背包模板题。

总共\(s\)组，每组最多取一个物品，实际上就是一个物品总数为\(s\)的背包。

for(int i=1;i<=s;i++){//枚举组
	for(int j=1;j<=n[i];j++){//枚举每组的元素
		for(int k=1;k<=m;k++){//枚举背包大小
			f[i][k]=max(f[i][k],f[i-1][k]);
			if(k>=w[i][j])
				f[i][k]=max(f[i][k],f[i-1][k-w[i][j]]+v[i][j]);
		}
	}
}

仔细观察，可以发现代码和01背包十分相似，只不过外面套了一个枚举组的循环。

但是还有一点和01背包有区别，就是第\(4\)行，还需要和自己比较一次，这是因为我们之前枚举同组的其他元素时，可能已经给\(f[i][k]\)赋值了，所以不能忽略，需要参与比较。

接下来我们考虑如何优化空间。

for(int i=1;i<=s;i++){
	for(int k=m;k>=1;k--){
		for(int j=1;j<=n[i];j++){
			if(k>=w[i][j]) f[k]=max(f[k],f[k-w[i][j]]+v[i][j]);
		}
	}
}

与上面的代码相比，我们修改了两个部分：

• \(k\)改为从大到小。
  这是为了让\(f[k-w[i][j]]\)求到的是上一层的、未修改过的值，与01背包的空间优化相似。
• 将枚举\(j,k\)的循环反转位置。
  我们发现，如果把\(k\)放在最内层的话，\(j\)每增加\(1\)，\(f\)的内容就要翻新一遍，这样我们求的\(f[k-w[i][j]]\)就已经修改过了，并不是上一层的原值了，所以我们把\(j\)放在最里面。

时间复杂度\(O(\sum^{s}_{i=1}n[i]*m)\)。
空间复杂度\(O(m)\)。

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下面放上完整代码：

优化前Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n[110],m,t,s;
int w[110][1010],v[110][1010];
int f[110][1010];
int main(){
	cin>>m>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		n[c]++;
		w[c][n[c]]=a;
		v[c][n[c]]=b;
		s=max(s,c);
	}
	for(int i=1;i<=s;i++){
		for(int j=1;j<=n[i];j++){
			for(int k=1;k<=m;k++){
				f[i][k]=max(f[i][k],f[i-1][k]);
				if(k>=w[i][j])
					f[i][k]=max(f[i][k],f[i-1][k-w[i][j]]+v[i][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[s][m];
	return 0;
}

优化后Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n[110],m,t,s;
int w[110][1010],v[110][1010];
int f[1010];
int main(){
	cin>>m>>t;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		n[c]++;
		w[c][n[c]]=a;
		v[c][n[c]]=b;
		s=max(s,c);
	}
	for(int i=1;i<=s;i++){
		for(int k=m;k>=1;k--){
			for(int j=1;j<=n[i];j++){
				if(k>=w[i][j]) f[k]=max(f[k],f[k-w[i][j]]+v[i][j]);
			}
		}
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
}