[笔记]数位dp例题及详解-上

【接下回】-数位dp例题及详解-下

数位dp的定义引自洛谷日报#84：

求出在给定区间\([L,R]\)内，符合条件\(f(i)\)的数\(i\)的个数。条件\(f(i)\)一般与数的大小无关，而与数的组成有关。
由于是按位dp，数的大小对复杂度的影响很小。

由于数位dp状态的上下文信息比较多，所以一般用记忆化搜索实现，而非递推。

附上数位dp题单：https://www.luogu.com.cn/training/494976#problems

P4999 烦人的数学作业

题意简述：\(T\)次询问，每次给定\(L,R\)，输出\([L,R]\)中所有数的数位和之和。
\(1\leq L\leq R\leq 10^{18},1\leq T\leq 20\)

我们发现范围很大，如果模拟会超时。所以引入数位dp的做法，数位dp一般会利用前缀和的思想，把\([L,R]\)转化为\([1,R]-[1,L-1]\)，那么怎么计算\([1,x]\)呢？

用\(f[i][j]\)表示从最高位开始填了\(i\)位，数位和为\(j\)的答案。

思考如何转移：因为我们从最高位开始填，那么显然每一位都有限制。拿\(520\)举例：

• 第\(1\)位如果填\(0\sim 4\)，那么后面可以随便填没有限制。
• 第\(1\)位如果填\(5\)，那么第\(2\)位就要受限，如果填\(0\sim 1\)就和第一条一样，填\(2\)就是第二条，这样循环下去直到填完……

所以\(dfs\)的参数应有三个。

• \(pos\)，表示当前正在填哪一位，从最高位\(len\)（原数的位数）开始往前填，根节点\(pos=len\)，即正在填最高位。\(pos=0\)为结束条件。
• \(limit\)，bool类型，表示当前这一位有没有限制。
• \(sum\)，表示从最高位填到\(pos+1\)数位和是多少，用作递归结束的返回值。

但是我们发现这样就是一个普通的模拟，把所有数都试了一遍。所以需要记忆化，如果\(f[pos][sum]\)已经计算过了，直接返回即可（需要注意\(limit=false\)时才能用）。

为什么\(limit=false\)才需要记忆化，是因为\(limit=true\)的情况只有\(i=a[pos]\)（见代码），所以在递归树上只是一条链，没有记忆的必要。

至于时间复杂度，那就是状态数量（在\(f\)没有冗余空间的情况下，就是\(f\)的大小），再乘上转移的复杂度（此处是\(O(10)\)）。
（DP的时间复杂度分析常用方法）

因为调用是\(f[pos][sum]\)，所以状态数量\(len*10len\)即\(10*log_{10}^2r\)，而单次循环执行次数是\(10\)，所以时间复杂度是\(O(log_{10}^2r\times 10^2)\)。

upd 2024/11/25：之所以不把\(10^2\)消掉，是想表达“这个常数虽然在此题中是固定的，但是会随着对该题的推广而变化（比如变化进制的话，这个常数就成变量了）”。
实际上是可以进一步改进此算法，以消除掉这个常数以及一个\(\log_{10}r\)的。具体见[笔记]数位dp再刷。

思考：传递的参数中如果有数组等，为了节省空间，把它定义成全局数组，然后利用回溯传递状态更好（这里的\(pos,sum\)就可以这样子优化掉，但是本身递归层数就不多，所以影响几乎没有，也有一些变量不能回溯，比如\(lim\)）。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int f[25][250],a[25],t,l,r;
int dfs(int pos,bool limit,int sum){
	if(pos==0) return sum;
	if(!limit&&f[pos][sum]) return f[pos][sum];
	int rig=limit?a[pos]:9;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		ans=(ans+dfs(pos-1,limit&&i==rig,sum+i))%mod;
		//依次枚举这一位填什么
		//如果这一位没有限制，那么填前一位也一定没有限制。
		//如果这一位有限制，那么只有这一位填的数为a[pos]时才有限制（具体上面有说明）
	}
	if(!limit) f[pos][sum]=ans;
	return ans;
}
int solve(int x){//把x的值存入a数组
	int len=0;
	while(x){
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(len,1,0);
}
signed main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>l>>r;
		cout<<(solve(r)-solve(l-1)+mod)%mod<<endl;
	}
	return 0;
}

P2602 [ZJOI2010] 数字计数

与刚才那道很像哦，只不过询问的是\(0\sim 9\)每个数字出现多少次。一个求和，一个计数。

似乎数位dp一般思路就是先写一个暴搜，然后再思考怎么记忆化。一开始想到两种暴搜思路：

• 将状态表示成\(sta[10]\)，为了省空间不再通过参数传递，而是开一个全局，通过回溯实现。传递的参数有\(pos\)、\(limit\)和\(zero\)，前两个含义和上面的一样，\(zero\)是bool类型，表示填到现在有没有前导\(0\)。具体过程也差不多，就是把所有状态枚举一遍。\(pos=0\)时结束，把当前的\(sta\)加入到\(ans\)数组中。最后输出\(ans\)。但是如果这一位是前导\(0\)则不能被算入\(sta\)中，所以需要判断什么时候需要加，也就是i!=0||!zero（解释：如果当前填的数本来就不为\(0\)，或者是当前填的数为\(0\)，但是这个\(0\)不是前导\(0\)，那么是可以累加到\(sta\)中的）。
• 不用数组表示状态，开\(4\)个参数\(pos,limit,cnt,zero\)，其中\(cnt\)表示数字\(x\)的出现次数（与上面的\(sum\)类似，不过一个是求和，一个是计数），\(zero\)含义与上面类似。\(pos=0\)结束，返回\(cnt\)。主函数中调用\(10\)次\(dfs\)，\(x\)分别取\(0\sim 9\)。调用一次输出一个。

其实用思路B，求出所有位数的和，依次减去\(1\sim9\)的和就是\(0\)的和了，这样不用处理前导\(0\)的情况，但此处就不实现了。

先把暴搜代码写出来（30pts）：

思路A：全局数组表示状态，$1$遍搜索出结果

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int l,r;
int a[20],sta[10],ans[10],t[10];
void dfs(int pos,bool limit,bool zero){
	if(pos==0){
		for(int i=0;i<10;i++) ans[i]+=sta[i];
		return;
	}
	int rig=limit?a[pos]:9;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		int temp=sta[i];
		sta[i]+=(i!=0||!zero);
		dfs(pos-1,limit&&i==rig,zero&&i==0);
		sta[i]=temp;
	}
}
void solve(int x){
	int len=0;
	do{
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}while(x);
	dfs(len,1,1);
}
signed main(){
	cin>>l>>r;
	solve(r);
	for(int i=0;i<10;i++) t[i]=ans[i];
	memset(ans,0,sizeof ans);
	solve(l-1);
	for(int i=0;i<10;i++){
		cout<<t[i]-ans[i]<<" ";
	}
	return 0;
}

思路B：搜索$0\sim 9$共$10$次

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int l,r;
int a[20],x;
int dfs(int pos,bool limit,int cnt,bool zero){
	if(pos==0) return cnt;
	int rig=limit?a[pos]:9;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		ans+=dfs(pos-1,limit&&i==rig,cnt+((i!=0||!zero)&&i==x),zero&&i==0);
	}
	return ans;
}
int solve(int x){
	int len=0;
	do{
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}while(x);
	return dfs(len,1,0,1);
}
signed main(){
	cin>>l>>r;
	for(x=0;x<10;x++){
		cout<<solve(r)-solve(l-1)<<" ";
	}
	return 0;
}

我们发现，思路B更好优化一些。因为思路A把所有数位看做一个整体，如果记忆化不知道应该从何处入手。所以我们选择思路B，在!limit&&!zero的情况下使用\(f[pos][cnt]\)记忆，与上道题类似。

思路B+记忆化

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int l,r,f[20][20];
int a[20],x;
int dfs(int pos,bool limit,int cnt,bool zero){
	if(pos==0) return cnt;
	if(!limit&&!zero&&f[pos][cnt]!=-1) return f[pos][cnt];
	int rig=limit?a[pos]:9;
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		ans+=dfs(pos-1,limit&&i==rig,cnt+((i!=0||!zero)&&i==x),zero&&i==0);
	}
	if(!limit&&!zero) f[pos][cnt]=ans;
	return ans;
}
int solve(int x){
	int len=0;
	do{
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}while(x);
	return dfs(len,1,0,1);
}
signed main(){
	cin>>l>>r;
	for(x=0;x<10;x++){
		memset(f,-1,sizeof f);
		cout<<solve(r)-solve(l-1)<<" ";
	}
	return 0;
}

这样就能\(AC\)了。

时间复杂度即状态数\(\times\)转移复杂度：\(O(10*(log_{10} r)^2\ *\ 10)=O(10^2\times log_{10}^2r)\)

\(f\)数组为什么要memset成全\(-1\)呢？因为有可能记忆化的值为\(0\)，而上一题需要记忆化的只有\(>0\)的值。不过为了保险，还是应该赋值为一个更确定用不到的值，或者额外开一个\(vis\)数组。

P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S

参数中的\(cnt1\)表示\(1\)的个数，\(qian\)表示前导\(0\)的个数。暴搜比较好实现，就不单独放了。记忆化数组\(f[pos][dif]\)表示当前正在填\(pos\)，\(0\)和\(1\)出现个数的差值\(+55\)的值（\(+55\)是为了防止越界）。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,r,len,f[50][110];
bool a[50];
int dfs(int pos,bool limit,int cnt1,int qian,bool zero){
	if(cnt1>(len-qian)/2) return 0;
	if(pos==0) return 1;
	if(!limit&&!zero&&f[pos][cnt1-(len-qian-cnt1)+55]!=-1)
		return f[pos][cnt1-(len-qian-cnt1)+55];
	int rig=limit?a[pos]:1,ans=0;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		bool now=(zero&&i==0);
		ans+=dfs(pos-1,limit&&i==rig,cnt1+i,qian+now,now);
	}
	if(!limit&&!zero) f[pos][cnt1-(len-qian-cnt1)+55]=ans;
	return ans;
}
int solve(int x){
	len=0;
	while(x){
		a[++len]=x%2;
		x/=2;
	}
	return dfs(len,1,0,0,1);
}
int main(){
	cin>>l>>r;
	memset(f,-1,sizeof f);
	cout<<solve(r)-solve(l-1);
	return 0;
}

P2657 [SCOI2009] windy 数

模拟填数即可，先写出暴搜。然后我们根据题意，可以知道某个状态只和上一位有关。所以如果两个状态\(pos\)相同，而且上一位也相同，答案就是一样的。所以定义记忆化数组\(f[pos][last]\)表示正在填\(pos\)，\(pos+1\)位填的是\(last\)这个数的答案。需要注意的是第一个填的数没有\(last\)（代码中用\(-1\)表示），所以不能用记忆化。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int l,r,a[20],f[20][10];
int dfs(int pos,bool limit,int last,bool zero){
	if(pos==0) return 1;
	if(!zero&&!limit&&last!=-1&&f[pos][last]!=-1) return f[pos][last];
	int rig=limit?a[pos]:9,ans=0;
	for(int i=0;i<=rig;i++){
		if(!zero&&abs(last-i)<2) continue;
		ans+=dfs(pos-1,limit&&i==rig,i,zero&&i==0);
	}
	if(!zero&&!limit&&last!=-1) f[pos][last]=ans;
	return ans;
}
int solve(int x){
	int len=0;
	while(x){
		a[++len]=x%10;
		x/=10;
	}
	return dfs(len,1,-1,1);
}
int main(){
	cin>>l>>r;
	memset(f,-1,sizeof f);
	cout<<solve(r)-solve(l-1);
	return 0;
}

\([The\ End]\)
呼 先更到这
时间好紧，可能必须留到周末了（