[题解]HDU1024 Max Sum Plus Plus

前言

最近困惑于线性\(dp\)的定义——只有状态表示为一维的才叫线性\(dp\)吗？
通过CSDN上的这篇文章，我得到了答案：

所谓线性\(dp\)，就是递推方程是有一个明显的线性关系的，一维线性和二维线性甚至多维都有可能。
动态规划里的每一个状态都是一个多维（\(1-n\)维）的状态。
比如说背包问题就是一个二维的问题，如果我们把它画出来的话会是一个二维矩阵的形式。
而我们在求的时候，有一个明显的求的顺序：即一行一行地来求。这样的有线性顺序的叫做线性\(dp\)。

正文

HDU 1024

这道题是一道很巧妙的线性\(dp\)题，在上一篇文章——线性\(dp\)模型中也提到过，因为其前身其实就是上一篇写到的「最大连续子段和」。只不过这一题问的不是一段，而是\(m\)段，所以较上一题我们的选择更加自由。

（HDU注册上让验证手机号，结果愣是一直没收到验证码，而一天最多只能发\(3\)次，所以暂时没法测试自己的代码，但是目前和正解对拍是对的）

题意简述

多测，每次给你\(n\)个数，要求从中选出\(m\)个没有公共部分的连续子段，求这几个连续子段的和的最大值。

数据范围：\(1\leq m\leq n\leq 10^6\)（奈何\(m\)和数据组数具体范围都没给，因为\(m=10^3,n=10^6\)这个数量级就已经不可做了）

解题思路

用\(dp[i][j]\)表示以第\(j\)个元素结尾，分成\(i\)组的最大和\((i\leq j)\)。你可能会疑惑为什么不把\(i\)和\(j\)的含义反过来。别急，这是为了后期的优化。

我们用下列样例演示：
输入：

2 6
-1 4 -2 3 -2 3

输出：

8

如图，表示\(6\)个元素，取出\(2\)组的\(dp\ table\)（其实\(2\)行就够了，不过为了更好地演示我画到了\(n\)）。

如图所示，递推式为\(dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][k])+a[j](1\leq k<j)\)，下面是推导过程：

• 上一个元素在当前组，因为在当前组，所以必须是连续的，即只有\(dp[i][j-1]\)。
• 上一个元素在上一组，而上一组可以和自己连续也可以不连续，所以有\(dp[i-1][k](1\leq k<j)\)。
• 上面两种情况取个最大值，别忘加上自己（即\(a[i]\)）。

我们发现每个格子的状态只和当前行和上一行有关，所以我们可以优化空间为一维。而上一行以下标\(i\)结尾的最大值我们可以用\(maxx[i]\)表示。其实与滚动数组很像，但是滚动数组只是优化了空间。

我们这个做法除了优化空间，还可以节省时间。因为如果没有\(maxx\)的预处理，我们根据上面第二个步骤计算上一排的最大值时需要循环遍历，浪费时间。这样预处理，节省空间和时间，一举两得。

时间复杂度为\(O(Tnm)\)

*注意：可能需要输入优化（数据量比较大，题目中也有提到）

Code

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m,n,a[1000010],dp[1000010],maxx[1000010];
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	while(cin>>m>>n){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			cin>>a[i];
		}
		memset(dp,0,sizeof dp);
		memset(maxx,0,sizeof maxx);
		for(int i=1;i<=m;i++){
			for(int j=i;j<=n;j++){
				dp[j]=a[j]+max(dp[j-1],maxx[j-1]);
			}
			for(int j=i;j<=n;j++){
				maxx[j]=max(maxx[j-1],dp[j]);
			}
		}
		int ans=INT_MIN;
		for(int j=m;j<=n;j++) ans=max(ans,dp[j]);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}