[笔记]自己想的一个题，解题思路以及代码

自己在学校想到的，很大概率是已经存在的原题，不过这道题很有趣，所以记录一下

题意简述

输入一个\(N\)，询问\(\{1,2,…,N\}\)的所有全排列中满足下列条件的排列\(P\)的个数取模\(998244353\)的值：

• 定义\(A\)数组，初始全为空。对于\(1\leq i\leq N\)，设\(A_{P_i}\)为\(i\)。如果\(A=P\)，则满足条件。

说明：\(1\leq N \leq 10^7\)

样例及解释

Input: 3
Output: 4

\(\{1,2,3\}\)的全排列有\(\{1,2,3\},\{1,3,2\},\{2,1,3\},\{2,3,1\},\{3,1,2\},\{3,2,1\}\)。

依照规则填写的\(A\)分别是\(\{1,2,3\},\{1,3,2\},\{2,1,3\},\textcolor{red}{\{3,1,2\}},\textcolor{red}{\{2,3,1\}},\{3,2,1\}\)。

红色的是不匹配的，于是答案为\(4\)。

解题思路

根据题意，满足条件必须要求\(A_i=P_i,A_{P_i}=i\)

\(A_i=P_i\)即\(A_{P_i}=P_{P_i}\)

又因为\(A_{P_i}=i\)，所以\(P_{P_i}=i\)

---

满足\(P_{P_i}=i\)的\(P\)即为符合条件，接下来我们用dp解决。

设\(dp_i\)为\(N=i\)时的答案，初始\(dp_1=1,dp_2=2\)。

递推式：\(dp_i=dp_{i-1}+(i-1)*dp_{i-2}\)

怎么推导的呢？我画个图，通过\(N=4\)的情况解释：

下面附上代码实现↓

Code

可以用滚动数组优化空间。（懒）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define mod 998244353
using namespace std;
int n,dp[10000010];
signed main(){
	cin>>n;
	dp[1]=1,dp[2]=2;
	for(int i=3;i<=n;i++){
		dp[i]=(dp[i-1]+((i-1)*dp[i-2])%mod)%mod;
	}
	cout<<dp[n];
	return 0;
}

\[[THE\ \ END] \]

注：若发现错误或改进建议，请在评论区指出，感谢万分！