2016.8.25 分治

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分治

一．基本概念：

1.定义：通过对较小规模的问题的求解达到对整个问题的求解的递归算法；

2.含义：把各部分的接组合成整个问题的解；其实分治不好想但好写，做题时一定要小心“有序”这件事；

3.要素：数据有序或答案有序或单调；

4.执行：解决子问题*子问题个数+合并子问题*合并次数；（对于二分来说，通常是nlogn（可证明））

5.注意：跳出循环的条件一定要能达到，如果跳出循环时lef!=rig的话记得都验证一下；

6.技巧：可以用等号的取与不取来选择相等中的第一个或最后一个；

二．常见模板：

1.有序找数：

特点：答案有序可以分治找答案，数据有序可以分治找数据；方程求解其实就是答案有序，不过特别放在一类以表重要；

举例：找数；

2.归并；

特点：将数据二分，最后再合并，因为各自有序所以会节省很多时间；还可以求逆序对；

注意：求逆序对时，两边数列相等，则应该让前面的数列先出数，因为前面的数列接下来的其他数字很可能比后面大，如果后面先出则未计算，会导致结果偏小；

举例：归并排序；光荣的梦想（逆序对）

3.方程求解；

特点：找经过一定操作后等于某值的数，分治基本题；

注意：仔细理解“精度”的意思，应该取差距小于精度的1/10才对；

举例：一元三次方程求解

4.找规律；

特点：需要经过观察才能得出，属于比较难的分治，且输出格式也比较难把握，需要足够熟练仔细思考；

技巧：专注数字的变化，不必传递两个数字；抓住正方形的特征，用数组先存储；

举例：循环比赛日程表；

5.二分计算再合并；

特点：比顺序计算要快，需要同时熟练掌握高精度；

举例：取余运算（快速幂），麦森数

6.分治思想：

特点：并未传递二分边界，只是利用了二分“分而治之”，互不干扰的思路，把某一部分撇开与原问题一样地讨论，较难，需要把握分治精髓；

举例：黑白棋子的移动（移动成指定图案）

三．上手例题：

1.求逆序对：

如上；

2.黑白棋子的移动：

题意:移动成指定图案;

分析：这道题不像二分，但借用了二分分成更小规模依次解决的思想，很值得借鉴；

3.循环比赛日程表；

分析：该题目的输出很艰难，几乎无法用分治完成，后来发现可以用数组，以及按正方形边长来分治，和以往的二分都不一样，是一道开阔眼界思维的好题；

3.一元三次方程求解

    分析：需要对函数性质进行分析，画出典型函数图象来确定求解方法是否适用怎么用；

4.麦森数

分析：一是确定位数的方法非常巧妙，需要灵活运用数学能力，体现了数学在OI中的重要地位，而是定位数高精度很难写对，需要把握好每一个细节；