2016.8.25 递推
由于博客是写给自己看的，所以用到了大量简写题也没有写出来，有需要的可以联系我要题目的pdf,本章ppt,讲义以及题目测试数据，由于上传不方便我就不上传了，联系邮箱SindarDawn@163.com
注：数列样式从0开始
小知识：其实所有的加法都暗含了*1，这就可以解释为什么有时是加法原理而有时是乘法原理；
注意：加法和乘法的选择一定要注意，
一．定义理解：用若干步简单运算来描述复杂问题，中间不存在取舍（区分开DP：求结果VS求最优）（但判断啊循环啊之类的语句还是可以有的），可顺（已知到问题）可逆（问题到已知）（区分开递归：递归函数调用自身），如果是逆向的话记忆化可以节约很多时间，有的情况下可以直接用通项公式解决（要小心中间运算溢出）；
特殊的迭代；（相比之下搜索就是把每一种情况的图都画出来）
优化：前缀和，找公式，找公式相同部分；
二．典型标志：有意义的数列（找规律）
三．方法/模板：找最小互不相同模块！
1.固定数列先找再证明：
1).Fibonacci数列
递推公式：F(n)=F(n-1)+F(n-2);
数列性质：兔子繁殖（刚出生的等于上上次的兔子数也就是生的兔子（因为，下一个月新增的兔子不能生）加上上个月的兔子（也就是兔子总数））；
数列样式：1,1,2,3,5,8,13,21,34；
思维亮点：
①这个式子同样适用于与其性质不同的一步两步上楼梯问题，事实上，他们等于前者
加上前前者的原因各不相同，而上楼梯问题显然归属于另一个更广阔的递推类型：
确定当前状态递推；
②这个式子同时还可以用另一种方式解决，非常巧妙，虽然时间复杂度还要略微高一
点，这大概就是传说中的不是正解胜似正解吧；（但这个方法的合理性只在一道题
上有用，也就是1*2的棋子横竖放，棋盘为n*2 小紫10.3.1.4，当然在其他题里面，
如果直接把一般砍掉还是可以理解的（重复不考虑原则））
方法是这样的：选定从左至右的第一个为竖着的，则左边为偶数则为1，为奇数则
为0，右边就是原来的；
思维亮点：从中间考虑；漏洞百出的算法一直打补丁也有可能变对;
③自己想了一种方法，不过只能用于2的次方所以没有什么用，就是分治，比如
f8=f4*f4+f3*f3(因为把两个的放中间了），不过到后来，连f(n-1)都没有了，所以这
个方法完全没有什么用啊（欲哭无泪）；
2).平面分割问题
递推公式：an=a(n-1) +2(n-1);
思维亮点：这种题很灵活，要看出其中的模型，也要分清这个模型和容斥的联系；
3).Catalan数：
递推公式：累加CiCn-i+1,i从2到n-1,C3定为1，：定一点，剩下两点相乘；
本质很容易理解却比较复杂，其实和排列组合（点中选点）也有一定关系，不过这
些都是后话了；
4).第二类Stirling数：
递推公式：S（n,m)=m*S(n-1,m)+S(n-1,m-1);
集合类问题也很容易理解其本质，这种确定当前状态的方式也很别致，很经典的一
道题，很经常遇到以这题为模板的题；
四．融会贯通：
（一）.典型上手例题：
1.Fibonacci数列
2.平面分割问题：
1).平面分割： 小黄2.3.8；
从小分析到大；
2.确定当前状态递推：
1).Tower of Hanoi:小紫10.3.1.1；
一个非常典型的题，只求方案数不要求输出路径的解法是标准递推，要注意边界；
思维亮点：
①上面的式子还可以进一步简化成2^n -1,但如果不用快速幂算法的话
时间复杂度是一样的；
②引入一种新的证明方法叫做：数学归纳法，是从递归的角度从小开
始证明的；
2).数塔问题 ：小黄2.3.1：
新手上手问题，我个人倾向于认为这是DP，因为有阶段有状态有决策转移；
思维亮点：从后向前推可以免去一次最后层循环（用于能拿多少拿多少的程序简化）；
3).棋盘格数： 小黄2.3.3
需要常规的分析而且需要提炼公式（如果n,m很大的话），所以一定要在相出算法
以后看看能不能再简化！这道题还不错，作为入手可以思考一下；
4).昆虫繁殖： 小黄2.3.4
其实确定当前状态范围很大，比如类似斐波那契数列的昆虫繁殖；这道题可以根据
前后关系用一个数组搞定，不过容易错一般没必要；（必然性数列）；
5).位数问题： 小黄2.3.5
定当前奇偶（也就是唯一的影响因素）来继续推，杨钊的那道线性动规也体现了这
一点，很经典，很重要；
6).过河卒： 小黄2.3.6
很经典的矩阵递推，边界处理很重要，还是常见问题：变量，初始化；
3.最小单元递推（特殊的确定当前状态递推）：
1)1*2的棋子可横或竖放，棋盘为n*2 小紫10.3.1.4
（二）.经典错误例题：
1.火车站：推式子时不能忽略，一定要兼顾所有项，养成自己的编程习惯，不要受制
于题给变量的名称，要考虑极端情况的适用性；
（三）.较高难度例题：
1.极值问题：小黄练习6；
很重要的数学思想：迭代轮换！其实是披着递推模板但实质是数论的题；
