LeetCode LCP 29. 乐团站位

LCP 29. 乐团站位

绕远路

为了我自己看起来舒服, 以下x``y坐标的定义与题目相反

彩笔如我, 看着题目题目描述需要环绕排序, 结果一不注意调起了自动脑补, 瞬间拆成分情况讨论...

然鹅这并不优雅, 姑且先记下来嘲笑过去的自己

为了坐标算起来方便, 位置起点为0, 每轮i拆解一次外层(半圈), 然后触发自动脑补机制逆时针旋转180°....

此时得到每轮起点位置与终点位置对应关系

i	st	add	ed
0	0	2(n-1)	2(n-1)
1	2(n-1) + 1	2(n-2)	2(2n-1-2) + 1
2	2(2n-1-2) + 2	2(n-3)	2(3n-1-2-3) + 2
...	...	...	...
i	2(in- i*(i+1)/2) + i	2(n-1-i)	2((i+1)n - (i+2)(i+1)/2) + i
...	...	...	...
i	i(2n-i)	...	i(2n-i-2) + 2n-2

已知每段长度, 为方求(y, x)具体位置, 则需利用每段的起点/终点计算。因为每次只拆解半圈, 所以计算位置时只会发生横纵其中一个坐标的变动。（你这大脑是有多懒?

接下来则列出每轮拆解的起点/终点, [st_(y,x), ed_(y,x)]

i	st(y,x)	ed(y,x)
0	(0, 0)	(n-1, n-1)
1	(n-1, n-2)	(1, 0)
2	(1, 1)	(n-2, n-2)
3	(n-2, n-3)	(3, 2)
...	...	...
i偶	(i/2, i/2)	(n-1 - i/2, n-1 - i/2)
i奇	(n-1 - (i-1)/2, n-2 - (i-1)/2)	(i, (i+1)/2)
...	...	...
i偶	(i/2, i/2)	(n-1 - i/2, n-1 - i/2)
i奇	(n - (i+1)/2, n - (i+3)/2)	(i, (i+1)/2)

此时得到(y, x)与i的对应关系, 但肉眼可见地出现了奇偶差异(更麻烦了, 喂!

于是根据不同区域, 上u, 右r, 下d, 左l, 进行分情况讨论...

区域	限制条件
u	x=>y && x<n-y
r	x=>y && x>=n-y
d	x<y && x>=n-1-y
l	x<y && x<n-y

最后, 根据条件按已列出的关系从下往上带入就能得到答案..._(ˊཀˋ」∠)_

Python3

class Solution:
    def orchestraLayout(self, num: int, xPos: int, yPos: int) -> int:
        x, y = yPos, xPos
        if x>=y and x<num-y:
            i = y*2
            st = i*(2*num-i)
            p = st + x-y
            return (p%9) + 1
        if x>=y and x>=num-y:
            i = (num-1 - x)*2
            ed = i*(2*num-i-2) + 2*num-2
            p = ed - (x-y)
            return (p%9) + 1
        if x<y and x>=num-1-y:
            i = 2*(num-y) - 1
            st = i*(2*num-i)
            p = st + y-1-x
            return (p%9) + 1
        if x<y and x<num-y:
            i = 2*x + 1
            ed = i*(2*num-i-2) + 2*num-2
            p = ed - (y - (x+1))
            return (p%9) + 1
        return -1

理论上

其实没必要每次拆半圈, 直接拆一整圈更方便。

于是乎, 将矩形分为2个部分, 其一是若干层完整的外环, 其二为(x, y)所在环的格子数。

外环 = 完整矩形 - 内部矩形

(x, y)的格子占用计算需要拆分为y>=x与y<x两种情况, 这样x, y各自单调, 方便计算。（可作图观察到, 此处身略

为了方便描述, 定义a为(x, y)所在位置与最外层的层数差, 可以简单认为a=min(x, y, n-1-x, n-1-y), 不过因为多了xy的限定条件可以一同拆分。

根据以上分情况讨论, 得到位置函数f(x, y)如下

\[\begin{aligned} f(x, y) &= \begin{cases} n^2-(n-2a)^2 + (x+y-2a) &y>=x \\ n^2 - [n-2(a+1)]^2 - (x+y-2a) &y<x \end{cases} \\ a &= \begin{cases} min(x, n-1-y) &y>=x \\ min(y, n-1-x) &y<x \end{cases} \end{aligned}\]

此时已能得到答案, 不够由于强迫症发作, 故尝试整合表达式...

分解多项式后可以得到如下两个式子

\[ f(x, y) = \begin{cases} 4na - 4a^2 - 2a &+ (x+y) \\ 4na - 4a^2 - 2a &- (x+y) + (4n-4a-4) \end{cases} \]

增加两个变量b,c, 整合表达式

\[\begin{aligned} f(x, y) &= 4na - 4a^2 - 2a + b(x+y) + c(4n-4a-4) \\ a &= \begin{cases} min(x, n-1-y) &y>=x \\ min(y, n-1-x) &y<x \end{cases} \\ b &= \begin{cases} 1 &y>=x \\ -1 &y<x \\ \end{cases} \\ c &= \begin{cases} 0 &y>=x \\ 1 &y<x \end{cases} \end{aligned}\]

再借助位运算完成1->0, -1->1的转换

得到最终表达式如下

\[\begin{aligned} f(x, y) &= 4na - 4a^2 - 2a + b(x+y) + (b \gg 1\&1)(4n-4a-4) \\ a &= \begin{cases} min(x, n-1-y) &y>=x \\ min(y, n-1-x) &y<x \end{cases} \\ b &= \begin{cases} 1 &y>=x \\ -1 &y<x \\ \end{cases} \end{aligned}\]

Python3

class Solution:
    def orchestraLayout(self, num: int, xPos: int, yPos: int) -> int:
        a, b = (min(xPos, num-1-yPos), 1) if yPos >= xPos else (min(yPos, num-1-xPos), -1)
        return (4*num*a - 4*a*a - 2*a + b*(xPos+yPos) + (b>>1&1)*4*(num-a-1))%9 + 1