2025.2.21 test

B

有 $n$ 个点，每个点有一条出边，出边随周期改变，周期是 $T_i$ 为 $2$ 的幂次，即在时刻 $t$ 出边为 $c_{i,tmod{T}_i}$。
$q$ 次询问 $t$ 时刻开始从 $u$ 开始走 $d$ 步的位置。$n,q,\sum T_i\le {10}^5,t,d\le {10}^{18}$。

一般这种题自然想到倍增。如果我们设 $f_{i,j,k}(j<T_i)$ 表示 $j$ 时刻从 $i$ 出发走 $2^k$ 步到的位置。
但是这有个问题，如果 $i$ 的值要用 $u$ 更新的话必须要 $T_i\ge T_u$，所以有很多值是没有的。
考虑给一条路径划分阶段，不妨用 $a_1\dots a_2\dots a_3\dots$ 表示，$T_{a_i}$ 满足递增，$\dots$ 中的 $T$ 都小于上一个 $T_a$。
而阶段数是不超过 $\log n$ 次的。我们用每个阶段的第一个位置的信息来解决这一个阶段。
不妨考虑求 $f_{i,j,k}$ 表示从 $i$ 的 $j$ 时刻出发走了 $2^k$ 个跟 $T_i$ 相同的点后走到哪，$g_{i,j,k}$ 表示走了多远。
考虑一次询问，称同层为值相同的所有点，倍增出在同层走最远到哪，然后跳到下一层，重复该过程。
考虑求 $f_{i,j,k}$，不妨先求出 $f_{i,j,0}$。按照 $T_i$ 从小到大加入，求 $f_{i,j,0}$ 的过程跟一次询问一样于是解决了。