2025.2.18 test

今天这把同样一坨。A 题看成一个二分图匹配这种 dp 的模型，而且后续转化为 DAG 定向计数也比较难发展。B 题更史了完全忘记了这种研究方法，执着于研究函数结构去了。然后 C 题因为不太模型化导致不会分析啥也没写。
反思一下呢，大概就是没有多个角度想吧，总是死磕一个方向，但是总会遇到阻碍。还有就是别摆烂了，注意时间分配的问题。

A

给定两个 $1 \sim n$ 的排列 $p, q$ ，一个长度为 $n$ 的 01 串 $s$ 是合法的，当且仅当至少存在一个 $1 \sim 2 n$ 的排列 $a$ ，满足 $a$ 的前 $n$ 个数离散化后的排列是 $p$ ， $a$ 的后 $n$ 个数离散化后的排列是 $q$ ，且若 $s_{i} = 1$ ，则 $a_{i} > a_{i + n}$ ，否则 $a_{i} < a_{i + n}$ 。令 $f (p, q)$ 表示合法的 01 串的数量。现在 q 中的一些数是未知的，求对于所有可能的 $q$ ， $f (p, q)$ 之和。 $n \leq 500$ 。

考虑已知 $q$ 怎么做。首先现将 $p$ 重标号，可以看做有两条链，然后有一个匹配，要你给每条边定向使得无环。
考虑求方案数。据说这是一个 DAG 计数问题。考虑把 $(p_{i}, q_{i})$ 放到平面上去研究。
然后你发现若一个左上的点满足 $p_{i} > q_{i}$ ，但是右下的点满足 $p_{j} < q_{j}$ 这肯定不可能。
所以相当于有一条分界线分开了平面上的点，跟 qoj 9222 很像。考虑把分界线对应到 01 序列上。
可以把一条分界线“贴着”的点拿出来作代表，而这些点右下的全部取 $1$ ，相当于构成双射。
而这些”贴着“的点怎么计数，发现这就是上升子序列的个数好吧，然后就做完了。
考虑 $q_{i}$ 未知的情况。我们肯定不能把 $q_{i}$ 压进状态里对吧，不妨将一种 q 按照其可能合法的 01 序列分类。
也就是拆贡献了，对于一种 01 序列考虑能对应多少种 $q$ 即可。
一种 01 序列用 LIS 表示的话，贡献就是不在 LIS 里数个数的阶乘。
设 $d p_{i, j, k}$ 表示前 $i$ 个数选了 $j$ 个进入 LIS，最后一个是 $k$ 的方案数即可。这里 $j$ 不包括已经钦定的点。

B

有一个序列，值域 $[1, m]$ ，你进行操作：将两个相邻的 $k$ 合并为 $k + 1$ ，或者任意删掉一些位置。
$q$ 次询问每次询问一个区间的所有子区间能合并为只剩一个 $k$ 的个数。 $n, m, q \leq 2 e 5$ 。

先考虑判定问题，我们很容易有一种递归判定的方式，就是能合并为 $k$ 是分为两个不交区间能合并为 $k - 1$ 。
然后有一种思路就是取出所有极短的能凑出 $k$ 的区间。由于这个题肯定与势能有关所以区间总数是较少的。
而区间查询就是类似的维护二维平面上的阶梯型，这个还是比较难处理。
还有一种思路就是固定一个端点然后观察。考虑维护 $f_{l, j}$ 表示左端点为 $l$ ，能凑出 $j$ 最左的右端点。
这个还是很好做的， $f_{l, j} = min (f_{f_{l, j - 1} + 1, j - 1}, n x t_{l, j})$ ，这个 dp 应该是相同值很多的，然后可以维护连续段。
对于所有 $j$ 的段数和大概也是 $O (n)$ 或者 $O (n \log n)$ ？那么后面就好做了。
对于询问 $[x, y]$ 答案的计算也就是 $\sum_{i = x}^{y} r + 1 - min (f_{i, j}, r + 1)$ 。这个可以扫描线做。

C

一条长度为 $L$ 的链，每个点容量为 $C_{i}$ ，有 $n$ 个人每次出现在第 $X_{i}$ 条边，你需要将其分配到两端点之间不满的一个，如果都是不满的就任意选，如果都满的就算了。你需要计算两端点都满的人最大有多少个。
$n, L, C_{i} \leq 8000$ 。

这是一个最优化问题，考虑描述一个方案。题目条件是最小化，而我们求最大值，说明要进行转化。
一个常见的思路是转化为对于满足某条件的所有集合进行 dp。相当于满足题目最小化条件，最大化代价。
考虑将一个方案表示为序列 $t_{i}$ 表示第 $i$ 个点放满的时间。那么第 $j$ 个人贡献当前仅当 $j > max (t_{i}, t_{i + 1})$ 。
考虑 $t$ 如何合法，相当于将人和点进行匹配。考虑 Hall 定理 $| S | \leq | N (S) |$ 就是 $\sum max (t_{i}, t_{i + 1}) \leq \sum C_{i}$ 。
显然 $S$ 必须是一个区间，要不然根据抽屉原理必定有一个子区间不合法。所以可以转化为最小子段和。
那么对于 $t$ 序列做 dp 即可。所有点的 $t_{i}$ 取值集合大小是 $O (n)$ 。每个 $t_{i}$ 记录 $t_{i}$ 个后缀和，此时的最值。
代价是 $max (t_{i}, t_{i + 1})$ 分讨取到的是哪个，转移考虑进行前后缀 $max$ 优化即可。