2025.2.10 test

总结一下就是：A 题假了。然后 B 唐氏，写了个部分分因为没有中样例爆零。C 题切了。

要多练 B 题这种，线段树楼房重建竟然还不是很会。

A

B

维护序列 $A$ 支持单点修改，区间查询 $[l, r]$ 中最小的 $p$ 满足 $max_{i \in [l, p]} a_{p} \leq p$ 。 $n \leq 10^{6}$ 。

相当于线段树维护单调栈。即我们维护所有满足 $max_{i \in [l, p]} \leq p$ 中 $p$ 的最小值。
考虑左右儿子合并，左边会叉掉右边的一些答案，然后这个问题就可以用二分去解决，也就是单侧递归。
具体地，我们只需要求合并两个区间，用左边区间 $max$ 去放进右边区间里求右边区间的影响。
只需要判断左边区间 $max$ 和 $m i d$ 的大小关系，若 $m i d$ 更大那么递归左区间，否则左区间就都被叉了。
我们再讲单 $\log$ 做法，考虑每个节点维护 $max_{i \in [l, p]} \leq p$ 中 $p$ 最大值，然后通过线段树二分来求答案。
二分时从 $l$ 对应的叶子结点往上跳，如果这一步作为左儿子往上跳了，那么就尝试合并该层的右儿子。
如果合并之后区间内存在合法答案，说明答案一定在该右儿子的子树中，此时再在右子树内线段树二分即可。
为什么要维护 $p$ 的最大值而不是最小值呢？因为我们维护最小值是无法单独维护的，必须要单侧递归实现。
而维护最大值相当于维护了一个区间的可行性，就是说最大的 $p$ 是最能合法的。

C

给定 $n$ 对整数 $(x_{i}, y_{i})$ 和正整数 $C$ ，求一个定义域和值域都是 $Z$ 的函数 $f (x)$ ，满足 $\forall x \in Z$ ， $f (x) + C = f (2 f (x) - x + 1)$ ，使得 $\sum | f (x_{i}) - y_{i} |$ 最小。

考虑从 $f (x) = w$ 出发可以得到 $f (2 w - x + 1) = C + w$ ，进一步的继续算，可以得到：
$f (2 C + x) = 2 C + w, f (2 C + 2 w - x + 1) = 3 C + w$ ，则 $f (x) = f (x - 2 C) + 2 C$ ，即周期为 $2 C$ 。
所以考虑把所有 $(x_{i}, y_{i})$ 都平移到 $x_{i} \in [0, 2 C)$ 处，现在只需要确定 $f (x)_{0 \leq x < 2 C}$ 的取值即可。
发现 $f (x)$ 与 $f (2 w - x + 1)$ 是挂钩的，相当于他们匹配。我们只需要求他们取值的关系。
令 $w \in [0, 2 C)$ ，若 $f (x) = w + 2 k C$ 那么 $f (2 w - x + 1) = w - 2 k C + C$ 。
考虑匹配 $i, j$ ，那么 $w = (i + j - 1) / 2$ ，可以得出 $f (i), f (j)$ 的关系，然后就可以算出 $i, j$ 匹配的代价。
具体地是通过二分找中位数找到最优的 $f (i), f (j)$ 。我们要把所有 $i, j \in [0, 2 C)$ 都两两匹配好。
然后由于 $i, j$ 必定异号所以这就是一个二分图最小权匹配就做完了。