2024.11.28 test

此后再无 NOIP 模拟赛。

A

给一个包含 $n$ 个布尔变量的后缀逻辑表达式，给定这 $n$ 个变量的初值，请你求出：若想改变表达式的值，最少需要改变（取反）其中多少个变量的值。

树形 dp，只需要设 $f_u$ 表示 $u$ 子树的答案。

B

给定一个排列，判断是否存在等差子序列。

考虑枚举中间的那个数，那么，如果存在等差子序列那么就存在 $a_i-k,a_i+k$ 分居同一侧。
考虑正难则反。如果不存在，那么对于所有 $k$，$a_i-k,a_i+k$ 都所处位置相同，考虑用 $0,1$ 代表两侧。
判断序列的相同考虑哈希，我们从左往右扫，线段树维护哈希即可。

C

对于一个排列 $P$，以及一个点集 $S$，定义：
$set(S)=\{x|\mathrm{\exists }l,r\in S,l<r,\underset{a_l\sim a_r}{min}=x\}$，$len(S)=|set(S)|$。
$f(S)=1$ 当且仅当 $|S|\le 1$ 或 $\mathrm{\exists }i\in S,f(S-i)=1\wedge len(S)=len(S-i)+1$。
$dis(S)=\sum _{T\subseteq S,f(T)=1}[len(S)=len(T)]$，求 $\sum _{S}dis(S)$。

$f(S)=1$ 的条件显然为 $len(S)=|S|-1$。
考虑建出笛卡尔树，那么 $len(S)$ 的意义是建出虚树后非叶子节点的个数。
那么 $f(S)=1$ 的话，限制是对于每个点 $u$，$u$ 本身，左子树，右子树不能同时有点。
考虑拆贡献到每个 $f(T)=1$ 处。考虑给 $T$ 加点使得 $len(T)$ 不变。有两种情况：
其一是左右子树都被选了，那么在此时根节点可以选；
其二是根被选了，那么没被选的那个子树可以任选一个点出来。
所以一个 $f(T)=1$ 的贡献是若干个位置的积。设 $d{p}_u$ 表示 $u$ 子树的点的所有子集的贡献积的和。
那么，$d{p}_u=1+d{p}_{ls}+d{p}_{rs}+2\times d{p}_{ls}\times d{p}_{rs}+d{p}_{ls}\times (si{z}_{rs}+1)+d{p}_{rs}\times (si{z}_{ls}+1)$。
$2\times d{p}_{ls}\times d{p}_{rs}$ 指根的选不选；$d{p}_{ls}\times (si{z}_{rs}+1)+d{p}_{rs}\times (si{z}_{ls}+1)$ 指另一个子树选一个点/不选。

D

$n\times m$ 的网格，$q$ 次给若干行或若干列染颜色，统计有多少对格子边相邻且颜色相同，有多少对格子角相邻且颜色相同。$n,m,q\le 1e5$。

边相邻的话，考虑时光倒流，行列分别统计。
角相邻我不会，线段树，扫描线，或者是 bitset 乱做，