2024.11.17 近期练习

这大概是最后一篇近期练习了。

P8365 [LNOI2022] 吃

与 CF2023F 很相似，对于 $a_i$ 分类，$a_i$ 相同的最多只会选 $b_i$ 大的前 ${\log }_{a_i}V$ 用于加。
所以考虑 dp，设 $f_v$ 表示少乘了 $v$ 的贡献后最多可以加多少。转移考虑背包。
复杂度 $O(V\log V\log \log V)$。
但是，观察到：$a_i=1$ 的指定是选择加法。将这些数累加到 $x$ 里。
假设选择两个 $a_i>1$ 的，不妨取 $b_i$ 更大的那个，显然更优因为 $2\cdot max(b_i,b_j)\ge b_i+b_j$
所以，只会选择一个 $a_i>1$ 的物品用于加法。那么就很容易做了。选出最大的 ${\displaystyle \frac{x+b}{a}}$ 的物品。

qoj # 7864. Random Tree Parking

考虑先找充要条件，可以转化为开进 $u$ 的车的数量不超过 $u$ 到根的路径点数，且必须有 $1$ 辆。
那么 dp 状态就可以设出，设 $d{p}_{u,k}$ 表示 $u$ 往上开的车的数量为 $k$ 的方案数。
由于是随机树所以 $k$ 的取值很少。
转移枚举当前位置有 $c_u$ 辆选择。考虑多重集排列计数，只需要算所有方案的 $\prod {\displaystyle \frac{1}{c_u!}}$ 的和乘 $n!$。

qoj # 8049. Equal Sums

设 $d{p}_{i,j,v}$ 表示 $\sum _{k\le i}{a}_k-\sum _{k\le j}{b}_k=v$ 的方案数。我们只关心 $d{p}_{i,j,0}$。
对于 $d{p}_{i,j}$ 而言，其不仅能从 $d{p}_{i-1,j}$ 转移也能从 $d{p}_{i,j-1}$ 转移，但是我们只需要转移一次。
这启示我们要构造一种转移的方式，使得要存的值域变小。
如果 $d{p}_{i,j,k}$ 中 $k>0$ 就从 $d{p}_{i,j-1}$ 转移；否则就从 $d{p}_{i-1,j}$ 转移，这样值域是 $[-V,V]$ 的，减少一个 $n$。
前缀和优化，复杂度是 $O(nmV)$。
虽然我们减少了某些状态的存储，但是他们对答案都是没有贡献的（无需贡献）。
也就是每种方案都有唯一的方式确定。

qoj # 9479. And DNA

考虑拆位处理，从最低位开始。
如果该位 $m=1$，那么相邻三个数是 $101,011,110,010$ 的一种，考虑矩阵快速幂求方案数。
如果为 $0$，那么相邻三个数是 $000,001,100,111$ 中的一种，注意到只能是全 $0$ 或全 $1$。
考虑有进位，相当于 $m=0/1$ 的情况调换。
所以 dp 即可，设 $d{p}_{i,0/1}$ 表示最低的 $i$ 位，有无进位的方案数。

qoj # 9489. 0100 Insertion

考虑将序列翻转，变为 0010。
考虑用折线描述这个 0010，考虑 $0$ 设为 $-1$，$1$ 设为 $+3$，那么形成 $-1,-2,+1,0$ 的形式。
充要条件为：和为 $0$；不存在相邻的 $1$；且对于每个 $1$，设高度为 $h$，则之前最大值必须不小于 $h-1$。
因为一个 0010 和为 $0$，所以在 0010 里面插入是没有影响的。
dp，设 $f_{i,j,k,0/1}$ 表示当前填到第 $i$ 个，历史最大值为 $j$，当前和为 $k$，上一个是 $0/1$ 的方案数。

qoj # 8542. Add One 2

神仙题了。方便起见将序列两端放一个极大的数 $b_0=b_{n+1}=M$。考虑一个 $b$ 序列如何合法。
加法倒过来变为减法。差分，如果 $b_i>b_{i+1}$，那么必须存在至少 $b_{i+1}-b_i$ 次 $i$ 前缀减。
反之同理。那么充要条件是对于 $\mathrm{\forall }i$，$b_i\ge \sum _{j=i}^{n}max(b_{j+1}-b_j,0),b_i\ge \sum _{i=1}^{j}max(b_j-b_{j-1},0)$。
注意到，只需要 $b_0,b_{n+1}$ 都满足条件即可，比如对于第一个条件，显然是 $i$ 越小条件越苛刻。
因为 $M$ 足够大，且 $b_0=b_{n+1}$，所以 $\sum _{j=0}^{n}max(b_{j+1}-b_j,0)=\sum _{i=1}^{n+1}max(b_j-b_{j-1},0)$，下降=上升。
所以二式可以相加，则 $\sum _{j=0}^n|b_j-b_{j+1}|\le 2M$。
现在相当于 $b_i=a_i$，可以花费 $1$ 的代价使得 $b_i\leftarrow b_i+1$，最后使得 $\sum _{j=0}^n|b_j-b_{j+1}|\le 2M$。
考虑建出大根笛卡尔树，只有把一个区间里的全部抬升才会减少上式，按照区间大小贪心即可。

NFLSPC #7 T2

考虑计算一种情形的最小分组个数。从小到大分组，考虑值域的前缀的答案。
如果 $\le i$ 的有 $cn{t}_i$ 个，每组最多 $i$ 个，那么势必要分 $cn{t}_i/i$ 向上取整组。这是将大限制拆成小限制。
要想得到这个限制呢，你可以考虑检验一个分组个数 $k$，那么必须有 $cn{t}_i\le ik$ 对吧。
那么问题就变成了：后缀加 $1$，全局查询最大的 $a_i/i$ 向上取整。
考虑拿出所有的 $ki+1$，当这么多值的时候，贡献为 $k+1$，二分出这样的位置即可。
考虑扫描线枚举 $i$，并维护当前的每个时间加的值，树状数组维护，然而 $O(n\ln n\log n)$。

P2779 [AHOI2016初中组] 黑白序列

显然的 dp，设 $d{p}_i$ 表示前缀 $i$ 的答案，枚举最后一个黑白序列的长度，设从 $j$ 转移。
求出 $r_i$ 表示 $i$ 右边第一个 W 的位置，$l_i$ 表示 $i$ 左边第一个 B 的位置。
那么转移的条件是 $l_i\le \frac{i+j}{2}\le r_{j+1}$，拆开成 $j\ge 2l_i-i,i\le 2r_{j+1}-j$。
我错认为这是三维偏序，但事实上，因为偏序里存在 $i$，我们递推时间轴的时候是存在单调性的。
也就是说，当时间 $\le 2r_{j+1}-j$ 的时候，$j$ 才可能有贡献，这样第二个条件就已经解决；
于是我们只需要一个树状数组维护第一个条件即可。

ARC187C 1 Loop Bubble Sort

根据冒泡排序的性质，每次操作是将第一个数移动到第一个比它大的位置前，然后这个位置继续移动。
所以对于一个位置，如果其前面没有比它大的数，那么它就会往后移动；否则向前移动 $1$ 个位置。
也就是经典结论：设 $c_i$ 表示 $1\sim i-1$ 中 $\ge a_i$ 的个数，冒泡一次就是整体减一，跟 $0$ 取 $max$ 再左移。
注意到：对于一个固定的 $P^{\prime }$，答案为 $2^{x-1}$，其中 $x$ 为 $c_i=0$ 的个数。即为除去 $n$，对应原来 $c$ 是 $1/0$。
$c_i=0$ 的个数相当于前缀最大值的个数。按照计数排列的套路，考虑从大到小填入数字。
所以直接设 $d{p}_{i,j}$ 表示填了 $\ge i$ 的数，当前第一个前缀最大值在 $j$。考虑前缀和优化即可。
但是需要保证填出来的 $P^{\prime }$ 合法。只需要保证最后一个位置为 $n$ 即可。

P6383 『MdOI R2』Resurrection

我躺尸。考虑将 $G$ 定向，从小的定向到大的，不难发现每个点只会有一条出边，即形成一个内向树。
所以我们决定每个点的出边连向哪里即可。
先考虑链的情况，然后得出充要条件是儿子连的点势必比父亲连的点小。这个非常关键。
然后树形 dp 即可。