2024.11.4 test

B

你可以进行以下的操作：选择一个点染白色；此后每次染有白色点相邻的，且 \(a_i\) 最小的点。
\(q\) 次询问每次给出 \(p,k\)，问有多少种选择点的方案，使得 \(p\) 是第 \(k\) 个选到的。
\(a_i\) 是排列。\(n,q\le 1e5\)。

设 \(l=p-k+1,r=p+k-1\)，若 \([l,p-1]\) 能取到且 \(a_p<a_{l-1}\)，那么算上 \([l,p-1]\) 的答案。
若 \([p+1,r]\) 能取到且 \(a_p<a_{r+1}\)，算上 \([p+1,r]\) 的答案。
考虑一个区间能否取到，考虑取出最大值的位置 \(x\)。
若 \(a_x<a_{l-1}\) 那么 \(x\) 左边的位置都可以作为开头，\(a_x<a_{r+1}\) 那么右边的也都能取到。
现在计算 \(x\) 能否取到，取左边右边分别的最大值，
那么最后的形式一定是左右边一个顶到最大值处，另一边到边界，只需要判断是否出边界即可。

C

我们称两个字符串 \(s\) 和 \(t\) 是等价的，如果对于任意长度为 \(2\) 的字符串在 \(s,t\) 中出现次数相同。
询问一个字符串其有多少个字符串与其等价。字符集大小为 \(3\)。

这是一个欧拉路径计数。
由于 best 定理是计算欧拉回路的，若算的是 \(s\to t\) 的欧拉路径，那么加一条 \(t\to s\) 的边。
由于最后算的是循环同构的回路方案数，考虑旋转使得加的那条边在最后，删掉即可。
即本质不同的欧拉回路个数与欧拉路径的个数是一一对应的关系。
如果算的是欧拉回路个数，要乘上 \(n-1\)，因为从环路的任意位置开始都可以。
最后考虑所有边是等价的情况，那么乘上 \(\prod_{i,j}\frac{1}{E_{i,j}!}\)。