2024.11.1 test

B

维护长度为二的次幂的数组，支持单点修改，区间和，全局执行以下三种操作之一：

for(int i=0; i<n; i++) b[i]=0;
for(int i=0; i<n; i++) b[i()x]+=a[i];
for(int i=0; i<n; i++) a[i]=b[i];

（）里为或，且，异或中的一种。$n\le 2^{19}$。

考虑线段树维护。注意到如果为或/且，那么相当于对于某些层的节点左右儿子进行线段树合并。
对于异或操作，相当于交换左右儿子。
那么维护三个 tag 即可。因为每个点只会被并一次所以复杂度是对的。

C

$n$ 个鱼缸，第 $i$ 个鱼缸的水高 $h_i$，鱼缸高 $w$，有 $m$ 条鱼，初始在某个位置，跳跃能力为 $J$。
从 $i$ 能跳到相邻的鱼缸的条件是 $w-h_i\le J$。鱼任意跳，问到在一个鱼缸的鱼的对数最多是多少。
$n\le 1e4,m\le 200$。

考虑求出每个鱼能活动的区间，然后离散化后区间 dp。
每次选一个点并把跨越这个点的鱼都聚集在该点，并划分子任务为左右两个区间。

D

给定一张 $n$ 个点，$m$ 条边的简单无向图，对每个 $i\in [0,m]$，计算它只保留 $i$ 条边，使得剩下的图是一个可环覆盖图的方案数。可环覆盖的定义是，可以将边集划分成若干个子集，使得每个子集都形成一个环。$n\le 25$。

wzr 表示这就是 fwt 模板题。需要重点记录一下了。
显然地，连接 $(u,v)$ 的边的权值为 $s=2^u+2^v$，问题就是求 $i$ 大小的集合异或起来为 $0$ 的方案数。
这是一个背包的形式，考虑写成生成函数，那么相当于求 $[x^0]\prod (1+x^{s}y)$。
其中 $x$ 这一维做异或卷积，$y$ 这维是加法卷积。
考虑对 $x$ 这维做 fwt，因为只有一个位置要做，所以做出来一定是 $1+y$ 或者 $1-y$。
套路地把全部的 $s$ 一起 fwt，那么每个位置的 fwt 值是 $(1+y)$ 的个数减 $(1-y)$ 个数，可以解出来。
那么 fwt 每个位置乘起来就是诸如 $(1+y{)}^k(1-y{)}^{m-k}$。
而我们要求的是 ifwt 回去 $0$ 号位置的值，注意到该值就是 $2^{-n}\sum fw{t}_i$。
所以只需要知道每个 $k$ 的个数即可，后面可以在 $poly(m)$ 时间求出每个答案。