2024.10.29 test

A

已知 $n$ 边形的一个三角剖分，你可以进行若干次“城市建造”操作，可以选择三个点并新建一个点为这三个点的内心并连边。构造方案，使得城市建造次数最少，且新图可以划分为两棵树。

只需要进行一次城市建造操作，就可以使边数变为 $2 n$ ，点数为 $n + 1$ ，显然即可划分。
考虑取出一个三元环，要求有两条边是多边形边，操作后形成四个点的团，把这个团的边分配好。
对于外面的考虑每次删一个度数为 $2$ 的点，两条边分属两棵树。类似拓扑排序。

B

有 $n$ 个点排成一列，执行 $q$ 次修改每次区间加，最后形成序列 $A$ 。在 $i$ 点可以跳跃至 $i + k$ ，贡献为 $a_{i}$ ，或走向 $i + 1$ ，没有贡献，问从 $1$ 到 $n$ 贡献最大多少。 $n, k \leq 10^{12}, q \leq 2.5 e 5$ 。

离散化划分为若干个权值相同的段，贪心地，要么是取段的开头，要么是接在上一个跳 $+ k$ 。
所以对于每个段，只需要知道其左端点前 $k$ 的位置的信息，以及往前信息的最大值即可。
考虑线段树维护所有同余 $k$ 的信息，支持区间加，单点取 $max$ 即可。

C

一棵树，一开始 $0$ 号点有病毒，每个点有人，每个人的活动范围是距离其不超过 $p_{i}$ 的点。两个点活动范围有交集，就可以在有交集的地方传播病毒。每个点传播病毒的时间是 $C_{i}$ ，问每个点被传播到的时间。

考虑点分治处理。对于分治中心，求出所有点到中心的距离，然后前缀优化建图即可。
这是一个套路题，可以与点分树联系起来。

D

一棵树边权为 $1$ ，你可以通过若干次询问来找到所有的边，单次询问是询问 $a s k (u, S)$ 表示查询 $u$ 到 $S$ 集合里所有点的距离之和。要求询问次数 $\leq 8500$ ， $\sum | S | \leq 3 e 5$ 。 $n \leq 1000$ 。

一个想法就是每次找重心出来，然后做点分治。重心的性质就是到每个点的距离之和最短。
重心的儿子距离其为 $1$ ，然后一个个点去确认其属于重心的哪个儿子。考虑用集合的二分去处理。
所以一层的询问次数是 $O (n \log n)$ ，总共有 $O (\log n)$ 层，总的为 $O (n \log^{2} n)$ 。 $\sum | S |$ 应是 $O (n^{2})$ 级别。
另一个想法就是定一个根然后一层一层确定两层之间的边。假设现在确定 $A$ 到 $B$ 的边， $A$ 是较浅的。
考虑把 $A$ 随机对半分成两份为 $A_{1}, A_{2}$ 。
考虑调用 $a s k (B_{i}, A_{1}), a s k (B_{i}, A_{2})$ ，那么 $a s k (B_{i}, A_{1 / 2}) = a s k (f a_{B_{i}}, A_{1 / 2}) + | A_{1 / 2} |$ 。
那么很显然我们可以按照 $a s k (f a_{x}, A_{1})$ 的值分类，对于分在不同类的 $B_{i}$ ，他们的父亲势必不同。
现在我们就考虑把父亲也分类，直接调用 $a s k (A_{i}, A_{1})$ 分类即可。对于分的每一类考虑继续分治下去。
这个题充分考察了集合的二分，以及通过随机化来给分治划定标准。