2024.10.12 test

A

一棵二叉树，相同深度的点位置相邻的有一条边，给出两条根开始的路径，可以向上/左/右/左儿子/右儿子走，问最后走到的两个点最短距离。路径长度 $\le {10}^5$。

考虑求出两条路径分别走到的位置，用根开始的路径表示，每次向左/向右，用 $0/1$ 表示。
最后统计答案，两个点一定是走到某个深度再碰面，从第一处分叉点开始，浅到深枚举这个深度。
路径用二进制表示出来即可。考虑计算这个二进制数，我们可以表示为重复 $\times 2+d_i$ 的形式。
把 $d_i$ 求出来，最后不停地进位即可。

B

$n$ 个长度为 $m$ 的字符串，其中有若干个位置是不确定的，随机填一个小写字母进去，问字典树节点个数的期望。$n\le 12,m\le 1000$。

考虑拆贡献，一棵字典树我们计算其每个节点的贡献。
枚举集合 $s$ 里的串在第 $p$ 位组成一个节点的概率，如果不考虑 $s$ 外的串那么概率容易计算。
但是会导致集合外的串也可能前 $p$ 位与 $s$ 集合相等，也就是说一个方案会被算多次，有两种容斥：
$s$ 的答案减去所有 $s\subset t$ 的 $t$ 的答案；或者是加上 $|s|=1$ 的，减去 $|s|=2$，加上 $|s|=3$ 的...
原理是跟二项式反演的原理相同：也就是 $C_{|s|}^1-C_{|s|}^2+C_{|s|}^3+...=1$。
即大小为 $|s|$ 的一个方案，会被 $t\subset s$ 的计算到 $C_{|s|}^{|t|}$ 次，抵消掉贡献使得系数为 $1$。

C

A 与 B 玩石头剪刀布，一轮游戏分为 $n$ 局，给出每局 B 出什么的概率。对于每一轮赢得多的人获胜，如果赢的数量相同那么平局，该轮作废，若 A 连续赢 $m_1$ 局 A 胜，B 连续 $m_2$ 局 B 胜，安排 A 每局的策略，问 A 胜的最大概率。 $n\le 1000,m\le 100$。

考虑设计一个 dp，设 $f_{x,y}$ 表示当前进行了 $x$ 局，当前差为 $y$ 局，A 赢的概率，转移取最大的转移即可。
但是有一个问题，就是若 $y=0$ 平局的话，会返回 $f_{0,0}$，那么就无法 dp 因为有后效性。
也就是说在一轮中会出现平局，避免平局的干扰，所以我们需要求胜的概率与负的概率之比的最大值。
出现比值考虑用分数规划，不妨当前二分到 $mid$，也就是说检验 $p(win)-p(lose)\times mid\ge 0$。
dp 的时候直接求当前 $p(win)-p(lose)\times mid$ 的最大值即可。
这么做的话，边界条件就明了，$f_{n,0}=0,f_{n,-y}=-mid,f_{n,y}=1$。
如果一定要求胜利的概率的话，也可以直接而二分 $f_{n,0}$ 的取值，看最后 $f_{0,0}$ 与其比较大或小即可。
再求出负的概率也是一样。