2024.10.8 test

nf #34

A

定义两个长度相等的数列相似，当且仅当每个下标对应值在两个数列中的排名相等。
对于一个长 \(n\) 的排列，定义 \(f(A,k)\) 表示有多少长 \(k\) 的排列和 \(A\) 的至少一个子序列相似。
排列 \(A\) 的值是 \(\sum_{k=1}^n [f(A,k)=C_n^k]\)。给出一个排列，有若干位置待定，求值最大且字典序最小的排列。
\(n\le 20\)。

\(f(A,k)=C_n^k\) 的含义是：每个子序列都是两两不相似的，所以能贡献的 \(k\) 一定是 \([n-t,n]\) 的形式。
考虑从 \(k=n-1\) 开始，注意到，合法的排列满足序列中相邻的数值域上不连续。
\(k=n-2\) 的话，序列中不存在相邻且差 \(\le k\) 的，且连续的数位置的差 \(>k\)。
进一步的，这个限制有一点丑，考虑合并成一条式子：\(\forall i\neq j,|p_i-p_j|+|i-j|> k\) 即满足条件。
证明的话从 \(k=n-1\) 开始，相邻的如果也连续，那么删除他们两中一个都是等价的。
进一步，我们删了一个之后再删一个数，还是要满足相邻的不连续，就有了上面的式子。
这个限制非常苛刻，我们考虑直接爆搜通过。

B

有 \(n\) 个物品，有重量 \(w\) 和价值 \(v\)，\(q\) 次询问，背包大小为 \(m\)，对于每次询问，你不断选择物品直到背包正好装满，求最大收益和达成最大收益的方案数，即物品选择的顺序需要被考虑。
\(n,w,q\le 100,m\le 10^9\)。

由于 \(w\) 比较小，所以可以被转移的不多，而 \(m\) 很大，所以我们考虑矩阵快速幂。
设 \(f_i,g_i\) 表示当前选了 \(i\) 重量，方案数以及最大收益的值，转移枚举上一个选了什么。
但是，我们怎么知道哪些转移是最大收益的呢？考虑矩阵里直接记一个双元组 \((f,g)\)。
对于双元组我们可以定义新运算，设 \((f_1,g_1)+(f_2,g_2)=([g_1\ge g_2]\cdot f_1+[g_2\ge g_1]\cdot f_2,\max(g_1,g_2))\)。
\((f_1,g_1)\times (f_2,g_2)=(f_1\times f_2,g_1+g_2)\)，而矩乘就是 \(C_{i,j}=\sum_{k=1}^n A_{i,k}*B_{i,k}\)。
其实，只需要把矩阵优化理解为倍增优化 dp 即可。
最后，我们是向量乘矩阵，把所有 \(k\) 的 \(T^k\) 预处理出来，复杂度是 \(w^3\log m+w^2n\log m\)。

C

有 \(n\) 个位置，\(q\) 次询问，每次给出一个起始点，然后每次可以向左或向右扩展 \(1\)。
有 \(m\) 次收益，诸如若第 \(x\) 次拓展是 \(p\)，则可以获得 \(w\) 的收益。问最大收益。
\(n\le 10^9,m,q\le 10^9\)。

收益的形式很丑陋，根据 \(s,p\) 的关系写成两种区间：\([p-x+1,p],[p,p+x-1]\) 代表当前区间形式。
那么我们要选出若干包含关系的区间，且 \(w\) 的和最大。
如果是单次询问，那么可以把左端点排序了，右端点相当于一个 LIS 的形式。
多次询问的话考虑把所有区间都并起来算，相同 \(p\) 的一对区间事实上最多选一个所以互不影响。
对于每个询问呢，我们考虑扫描线，如果 \(f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的答案，然后相当于求若干 \(f_i\) 最大值。
这个容易计算的。
这题的话呢相当于转化为 LIS 模型。