2024.9.10 LGJ Round

C

有 $n$ 个点，一开始 $s$ 点是白色，其余黑色，你可以花费 $p_i$ 的代价使 $i$ 点的颜色变成 $a_i$ 点的颜色。
若第 $i$ 个点为白色，那么会有 $w_i$ 的代价，问贡献减去代价最大是多少。$n\le 5000$。

不难发现这是一个外向基环树的形式。如果 $s$ 不在环上，就是一个树的形式。
树很简单，因为白点一定与根节点联通，只需要设计一个 $O(n)$ 的 dp 即可。
但是环不一样，因为数据范围支持 $O(n^2)$，所以其中必有蹊跷。
我们注意到一个非常致命的问题，也就是环上的点变成了 $1$ 之后，它还可以变为 $0$。
所以现在树的部分变成这样：设 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树里，变换了 $u$ 次的代价。这个是 $O(n^2)$ dp。
现在考虑环上的部分怎么办？我们可以得到环上每个点变化了 $t$ 次，其子树内的最大贡献。
考虑在环上能合法的 $t$ 集合是怎么样的呢？我们从 $s$ 开始，$t$ 序列不增，且极差 $\le 2$。
于是 dp 就做完了。

B

有一个 01 串 $s$，$q$ 次询问，问一个区间的所有子序列的权值和。
权值和的意思是：问至少多少次反转一个区间，使得其权值为 01 交替的形式。
$n,q\le 5e6$。

如果我们已知一个序列，考虑差分，反转一个区间，也就是反转差分数组的两个端点。
最后你要使得序列变成 01111... 或 11111...，权值显然是除去第一位，$0$ 的个数除以二向上取整的值。
所以我们可以设计一个 dp，$f_{0/1,0/1},g_{0/1,0/1}$ 表示的状态是当前是否钦定第一位，当前 $0$ 的个数奇偶性。
$f,g$ 分别方案数和贡献和，我们可以设计一个动态 dp 来处理该过程，前缀矩阵积和前缀逆矩阵积即可。
但是常数需要带上 $216$，无法通过。
以下是题解做法：把权值写成 $w=\sum _{i=l}^{r-1}[s_i=s_{i+1}]$，我们相当于要求 $\frac{1}{2}\sum w+[2|̸w]$。
我们先算 $\sum w$，考虑拆贡献，若 $s_i=s_j(i<j)$，那么会有 $2^{r-l-j+i}$ 的贡献。
那么，贡献也就是 $2^{r-l}\times \sum _{s_i=s_j,i,j\in [l,r].i<j}{2}^{i-j}$，差分，预处理 $\sum _{i,j\le l,s_i=s_j},2^{i-j}$，$\sum _{i\le l,l<j\le r.s_i=s_j}{2}^{i-j}$。
再算 $\sum [2|̸w]$，$w$ 的奇偶性也就是子序列长度和 $[s_{st}=s_{ed}]$ 之和的奇偶性，考虑计算每对 $st,ed$ 的贡献。
对于 $ed-st\le 1$ 的特判，其他的，子序列长度奇偶个数相同，有 $2^{ed-st-2}$ 种。