2024.8.26 近期练习

P3349 [ZJOI2016] 小星星

我们想到状压 dp，设 $d{p}_{S,u,rt}$ 表示 $u$ 子树由 $S$ 集合的点构成，根节点是 $rt$ 的方案数。
这样的话，转移需要枚举子集，是过不了的。这里应该使用容斥。
尝试把编号是一个 $1\sim n$ 的排列这一条件去掉，就不用记录 $S$ 了。
那么我们定义 $d{p}_{u,rt}$ 表示 $u$ 子树，根节点是 $rt$ 的方案数，那么怎么转移呢？
考虑容斥，枚举 $\{1,2,...,n\}$ 的子集，然后做 dp，强制编号都在其里面，求方案数，出来容斥即可。
dp 复杂度是 $O(n^3)$，总的复杂度 $O(2^n{n}^3)$。
用容斥是因为保证每个标号都存在很难，但是删掉某个标号的点很简单。

AGC022E

第一步是找最后剩下的是 $1$ 的条件。如果有连续的 0，那么一定给他删掉，最后剩下 0/1/2 个。
我们想一个删的策略，使得这样删下去能把合法的都删成 $1$。
那么，我们从左往右删，能用左边的 $1$ 就用，记录右边还要用多少个 $1$。
设 $d{p}_{i,j}$ 表示填到第 $i$ 位，欠了右边 $j$ 个 $1$ 或左边多出 $j$ 个 $1$ 的方案数，然而状态数是 $O(n^2)$。
然而这么做很蠢，我们发现，不可能欠右边那么多的 $1$，因为连续的 0 是可以再次消掉的。
如果欠 $\ge 3$ 个 $1$，说明有 000 出现，应直接消去。
同时不可能多出那么多 $1$，因为如果有 $\ge 3$ 个 $1$，那么无论如何都可以消去。
要注意的是 0 个数量和 1 的数量都要记录在状态里面。

ARC093F

我们假设已经知道了 $1$ 的所有对手，那么这些人都是对应子树里的最小值，考虑计数。
我们标号从大到小，设其对应的子树大小为 $s$，标号为 $i$，之前用了 $cnt$ 个，累乘 $A_{n-i-cnt}^s$。
考虑容斥，因为 $m$ 比较小，我们枚举不合法的人数，然后容斥原理。
我们考虑状压 dp 求出 $f(k)$ 表示选了 $k$ 个不合法的人的方案数。
不妨设 $d{p}_{S,i}$ 表示 $S$ 大小的子树已经钦定为不合法，当前从大到小选到第 $i$ 个不合法的人的方案数。
转移的话就是乘上 $A_{n-i-cnt}^s$。
那么，合法的子树贡献怎么办呢？其实无论怎么排都是合法的，对于 $d{p}_S$，我们最后乘上 $(n-S-1)!$。

P10764 [BalticOI 2024] Wall

如果墙的高度只有 1/2，那么积水的量是最后一个 2 的位置-第一个 2 的位置+1-2 的个数。
考虑拆贡献了，我们计算每个高度的答案，可以把 $a,b$ 揉起来排序后，计算每个区间的答案。
我们考虑计算第 $x$ 列，水高 $h$ 时的答案，即 $[1,x]$ 最大值 $>h$，且 $[x,n]$ 最大值 $>h$ 的方案数。
这个用线段树计算，递推水的高度，每次只是单点修改。
然而 $[1,x]$ 最大值 $>h$ 这类条件不好算，考虑容斥，$[1,x]$ 最大值 $\le h$ 就好算了。

P3214 [HNOI2011] 卡农

题意是转化为有 $1\sim 2^n-1$ 这些数，选择 $m$ 个数出来，两两不同。
每个音阶被奏响的次数为偶数转化为这 $m$ 个数异或起来为 $0$。
考虑先计算 $f_i$ 表示选了 $i$ 个数满足题意的有序集合个数。
我们假设已经选出前 $i-1$ 个数，那么方案数是 $A_{2^n-1}^{i-1}$，设其异或和为 $x$。
若 $x\ne 0$，第 $i$ 个数直接填 $x$ 即可。
若 $x=0$，那么这是不合法的，方案数就是 $f_{i-1}$，要减去。
还有一种情况就是 $x$ 之前出现过，那么把之前和现在的 $x$ 一起去掉，剩下 $i-2$ 个是合法的。
出现过的 $x$ 的位置有 $i-1$ 种，以及这个 $x$ 的取值有 $(2^n-1)-(i-2)$ 种，再和 $f_{i-2}$ 乘起来减掉。
注意我们这里要求的是无序集合，最后除以 $m!$。我们转成有序集合求是方便很多的。
上面那个 $A$ 的计算直接循环 $m$ 次算即可。

P3244 [HNOI2015] 落忆枫音

如果是单纯的一个 DAG 答案就是除了根每个点入度之积，即其父亲。
现在加了一条边形成环，我们考虑减掉形成环的情况，除了这个环上的点，其他点不变。
考虑计算有环的方案数，新加的边一定是必选的，如果加的是 $s\to t$，那么 $t\to s$ 一定有路径。
考虑从 $t$ 到 $s$ dp，设 $f_x$ 表示 $t\to x$ 的所有路径的贡献之和，对于路径一个点，我们要除去其入度。
所以，$f_x=\frac{1}{de{g}_x}\sum _{y\to x}{f}_y$.

P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

首先我们可以得出一种关灯的策略，从大到小关，如果亮着就关掉。
那么一个局面可以归类成若干个灯要关，且必须关这些灯，其他的无所谓。
因为所有灯等价，我们可以设 $f_i$ 表示当前如果还剩 $i$ 个灯，还要关多少次。
做一个链上高消即可。

P8290 [省选联考 2022] 填树

首先肯定是填一条链出来。这个是可以树形 dp 的。
我们枚举一个区间 $[x,x+K]$，钦定所有值在其中，并容斥减掉 $[x+1,x+K]$ 的答案即可。
每个点的取值是 $[max(x,l_i),min(x+K,r_i)]$。
我们发现我们是无法绕过枚举 $x$ 的限制的。
但是当我们移动 $[x,x+K]$ 这个窗口时，每个点的 $[max(x,l_i),min(x+K,r_i)]$ 都是均匀的变化的。
但是会发生 $O(n)$ 次改变，这 $O(n)$ 次改变来源于 $l_i,r_i,x,x+K$ 之间的相对大小关系的改变。
如果是链，每个点的贡献是 $min(x+K,r_i)-max(x,l_i)$，拆 $min,max$，共有 $O(n)$ 种取值。
我们发现我们要求就是关于 $x$ 的 $O(n)$ 次多项式，插值求其前缀和。
如果是树，我们发现还是 $O(n)$ 次多项式，考虑插值，第一问是 $n+1$ 次，第二问是 $2n+1$ 次的。
总共做 $O(n)$ 次插值，复杂度 $O(n^3)$。

Qoj # 7884. Campus Partition

题意：把树划分为若干联通块，使得每个联通块次大权值的和最大。
注意到：若一个联通块里最大和次大的是 $x,y$，那么只需要保留 $x\to y$ 的路径即可。
那么把题目转化为路径划分，且路径的权值就是两个端点最小的那个。
不妨设计树形 dp，维护 $g_{u,x}$ 表示 $u$ 子树内，$u\to v$ 的路径被选，$a_v=x$ 的答案。
同时计算 $f_u$ 表示 $u$ 子树内的答案。我们考虑一个个儿子加入，转移是比较显然的。
首先 $f_u$ 加上 $f_v$，其次 $g_{u,x}$ 与 $g_{v,y}$ 合并，加上 $min(x,y)$，更新 $f_u$。
之前的 $f_v$ 之和为 $\sum f_v$，那么 $g_{u,x}+\sum f_v$ 与 $g_{v,x}+f_u$ 更新取 $max$ 放到 $g_{u,x}$。
考虑用线段树合并来维护转移的过程。

CF840E

考虑到异或和加法之间的性质非常不优美，所以我们希望其能够都是同一类运算。
我们要进行的是诸如此类运算求 $a_i\otimes (de{p}_i+x)$，你发现每次 $x$ 变化后是很难求得。
所以，记下每个 $x$ 的答案，但是 $x$ 太大，所以记录 $x$ 的后八位的 $256$ 种情况，只用考虑前 $8$ 位。
考虑分块，每个点维护其向上跳 $256$ 个，这里面所有数的值，前 $8$ 位用一个字典树去处理。

P4425 [HNOI/AHOI2018] 转盘

你要想一种标记物品的策略。观察到，你如果重复经过某个点，那么只需要最后一次过即可。
所以，最优解的其中一种是只需要绕不到一圈的。
所以断环为链，选一个起点，走一个长度为 $n$ 的区间即可。
但是如何快速的计算时间是一个问题，如果起始点是 $s$，那么就是求 $n+\underset{i\in [s,s+n-1]}{max}{a}_i-(i-s)$.
这个意思是把移动要花费的时间全部去掉。那么你现在要对所有 $s$ 求最小值。
我们把答案改写成 $n+s+\underset{i\in [s,s+n-1]}{max}{a}_i-i$，现在可以每次 $O(n\log n)$ 查询。
事实上，这个区间可以改成后缀 $max$。所以我们就是要维护一个单调栈。
维护单调栈的问题参考楼房重建，我们 pushup 的时候，先递归右边，在二分出左边怎么接上。

P9598 [JOI Open 2018] 山体滑坡

问题是：只保留 $[1,x]$ 的点边和 $[x+1,n]$ 的点边分别连通块的个数和。这两个是独立的。
考虑操作分块，如同 APIO2019 桥梁那般。对于每 $B$ 个操作进行计算。
前缀和后缀同理，我们现在计算前缀的答案。
考虑扫描线，把 $x$ 排序后从小到大加入。然后加入连接 $x$ 的边。但是不能动在这个块里有变化的边。
同时，对于每个询问，我们把询问的时间的当时还在的边加入，用完之后用可撤销并查集给撤销了。

P8990 [北大集训 2021] 小明的树

我们要想一个计算连通块个数的策略。我们不妨维护 $f_{u,i}$ 表示 $u$ 子树在第 $i$ 时刻的贡献。
用线段树合并来维护。可以通过 $30$ 分。现在考虑断边又连边之后怎么办？发现我们做法失败了。
你考虑转换限制，因为点亮的灯这个限制很丑陋，我们把他转化为没点亮的灯是联通的。
然后我们用经典技巧把数没点亮的树转化为点减边，若为 $1$ 那么就联通。
考虑连接两个黑灯的边存在的时间：区间加即可。
考虑贡献，不难发现是连接亮灯和不亮灯的边的个数。这个也是区间加。
我们怎么统计总贡献呢？那么就是点减边最小值的所有位置的贡献和，线段树维护。
我们为什么要把所有计算写成边的形式呢？因为本题树的形态是变化的，每次操作都和边有关。

P3206 [HNOI2010] 城市建设

考虑分治。但是你发现只有当 $l=r$ 时你才能去跑一遍生成树，因为边是要排序的。
但其实，你可以考虑在 $l\ne r$ 的节点做一些优化。
第一，把 $[l,r]$ 之间的边先删掉，然后呢跑一遍生成树，此后没有加入的边就可以删掉了。
第二，强制加入 $[l,r]$ 之间的边，然后呢跑一遍生成树，此后加入的边就一定要被加入了。
那么，我们维护并查集，对于哪些一定要被加入的边，就并查集先合并上。
通过操作二，对于 $[l,r]$ 这个节点，存在的连通块数一定不超过区间大小，因为至多还有那些边尚加入。
同时，因为操作一，尚待确定的边数量与点同阶。
接下来，我们分治下去，只在右边不在左边、只在左边不在右边的边将变成静态的。
我们会把这些静态的边加入，与尚待确定的边一起，进行一和二操作。
需要使用可撤销并查集。口胡完毕，实现并不容易。

P3688 [ZJOI2017] 树状数组

我们必须转化一下题目所给的 Add 和 Query。
不难发现若 Add $x$ 能贡献到 Query $y$ 的条件是 $x\ge y$，也就是求单点加，求后缀和。
所以现在每次询问就是计算 $[x,y]$ 的区间和跟 $[x-1,y-1]$ 区间和相等的概率。
也就是询问 $a_{x-1}$ 和 $a_y$ 相等的概率。我们很容易想到维护 $a_{x-1},a_y$ 分别取值 01 的概率，
但是这是错的，因为他们并不是独立的。 这很关键。
所以我们只能把所有 $x,y$，$a_x=a_y$ 的概率取出。
考虑修改 $l,r$ 对 $x,y$ 的影响。设 $p=\frac{1}{r-l+1}$。
当 $x,y$ 其中一个 $\in [l,r]$ 的时候，会有 $p$ 的概率改变；有两个时，会有 $2p$ 的概率改变。
那么，这是一个矩形覆盖问题。需要树套树维护。

P8476 「GLR-R3」惊蛰

把 $a_i$ 离散化后，我们不难想到维护 dp 数组 $g_{i,j}$ 表示 $b_i=j$ 时的最小代价。
转移用后缀 $min$ 优化，复杂度 $O(nV)$。你发现状态数是已经不能再少了。考虑线段树维护 $j$ 这维。
考虑转移的本质，我们先对 $g$ 做一遍后缀 $min$ 之后，那么所有 $g_{i,j}=g_{i-1,j}+f(j,a_i)$.
对于 $j<a_i$ 的情况，区间加 $C$ 即可。对于 $j\ge a_i$ 的情况，区间加 $j-a_i$。
于是我们要支持的是区间加某数，区间把 $i$ 加 $b_i$，这个直接打标记即可。
现在我们需要的是如何实现做后缀 $min$，发现对于 $j\ge a_i$ 的情况时已经满足递增，后缀 $min$ 出来不变。
只需要考虑 $j\ge a_i$ 的跟前面做后缀 $min$，线段树二分出推平的位置即可。

P9531 [JOISC2022] 复兴计划

题意是：每次把边权设为 $|w_i-x|$，求最小生成树。
如果把绝对值拆开，分别求出最小生成树呢，那么我们只需要做的是：
把边排序，每次加入一条边权为 $0$ 的边，其他边统一加上 $D$，再求生成树。
假设加了是 $(u,v)$，这条边必选。如果成环，我们只需要找原树一条路径上最大边删掉即可。
现在我们要合并两个生成树。而这是需要再做一遍 kruskal 的，所以上述只是一个不那么暴力的做法。
所以我们决定分治。观察到，把每条边单独考虑，一条边存在的时间是一个区间。
我们取出 $mid$ 位置的 MST，此时不在 MST 里的边只对一侧有贡献。
此时在 MST 里面的边呢？其存在的区间跨越 $mid$，所以这条边要传进两侧。
同时，如果一条边在 MST 里，且其传的某一侧已经被其完全覆盖，那么就可以并查集并上了。
这样的话，一个边，相当于线段树，只会拆成 $O(\log n)$ 个区间，在这些区间里被做了一遍 kruskal。
细节的话用可撤销并查集。同时排序的话事先排好，到时候再归并。
复杂度 $O(m\log V)$。

P7215 [JOISC2020] 首都

我们可以发现可以求出以下关系 $x\to y$，代表选了颜色 $x$ 就要选 $y$。
我们把 $x$ 之间路径的颜色取出来，然后向他们建边即可，这个应该可以用优化建图解决。
然后现在要求一个最小的闭合子图，考虑先缩点，然后在形成的 DAG 中找一个没有出边的最小的即可。
同时这个题还启示我们用点分治解决。
对于分治的每一层，我们令分治中心必选，然后不断拓展，最多扩展完整个子树。
如果拓展到子树外，就一定经过上一层分治中心，而上一层的答案我们已经求过，所以直接跳过即可。
所以，点分治不只是计算路径的工具，而是分治，这是我一直以来的误区。

P6845 [CEOI2019] Dynamic Diameter

首先我们有一个结论就是：两个点集的直径的四个端点中的两个是在合并之后的直径端点。
这启示我们用线段树来维护点集。一个区间代表一个点集。
现在考虑如何更新，更新一个边权，会对子树外和子树内之间的合并造成影响。
我们只需要把包含子树的区间的子集区间更新一下，其实只需从更新子树的区间往上 pushup 即可。
我们处理树上路径可以不用树剖，距离写成深度的差，然后用树状数组来维护一下子树加，单点查。

P9132 [USACO23FEB] Watching Cowflix P

我们不难对于每个 $k$ 设出一个树形 dp，设 $f_{u,0/1}$ 表示 $u$ 子树，$u$ 选/不选的最小代价。
联通块的处理的话，每合并两个连通块，就减去 $k$ 的代价。每个 $k$ 都要做一遍，复杂度太大。
我们还有一种想法是因为每个边加入了就不会删除，连通块只会越来越少，我们增量地维护。
一开始的时候每个关键点作为一个连通块，我们每次都合并一些距离 $\le k$ 的连通块。
所以，连通块的个数不超过 ${\displaystyle \frac{n}{k}}$ 个，那么我们根号分治。设阈值为 $B$。思路同 CF1039D
对于 $\le B$ 的直接暴力，对于 $>B$ 的因为连通块数不超过 ${\displaystyle \frac{n}{B}}$，每个联通块个数都二分出其区间。
因为我们一开始想的是分治，所以我们还是分治。
若分治 $mid$ 答案是 $g_{mid}$，若其答案与 $g_l,g_r$ 中某个相同，说明就下面分治整个区间都是这个取值。
需要卡常，建议把树拍成 dfs 序。