2024.8.14 test

A

一棵树，你每天可以选择不超过 \(m\) 个祖先都被选择的点，问最少多少天选完。\(n\le 10^5\)。

考虑贪心，每次选出子树深度最大的 \(m\) 个点或子树大小最大的 \(m\) 个点都是对的。

B

一棵树 \(n\le 5e5\)，选若干出来，对于每个点，如果其儿子有选，那么不能被选，否则其有 \(p_u\) 概率被选。
对于每个点 \(u\) 的子树内所有点 \(v\)，如果 \(u,v\) 都被选，那么会产生 \(s_v \times a_u\) 的贡献，其中 \(a\) 是给定的，\(s\) 是 01 数组，你要确定 \(s\) 数组使得总的贡献期望最大。

显然期望是 \(\sum s_u\sum_{u \in subtree(v)} p(u\cap v)\)，那么对于贡献为正的，取 \(s_u=1\)，否则取 \(s_u=0\).
显然 \(p(u)=\prod_{fa_v=u}(1-p(v))\)，求 \(p(u\cap v)\) 即令 \(p_u=1\) 并重新 dp 一遍。
考虑从 \(p_u\) 向上爬，即不断令 \(p'_{fa}=p_{fa}\times \dfrac{1-{p'_u}}{1-{p_u}}\)，
由于 \(p_{fa}\times (1-p_u)\) 已经是已知的，直接用用矩阵表达出来，顺便记录 \(a_up'(u)\)。
直接前缀矩阵积即可。

C

一个字符串，多次询问某个长度为 \(2^k\) 区间是否满足所有 \(i,j\) 在二进制下的表示是翻转的，\(s_i=s_j\)。
\(n,q\le 5e5\)。

考虑一个区间合法的条件，那么就是这个字符串做蝴蝶变换后跟原字符串相同。
考虑哈希。我们要预处理一个区间和其蝴蝶变换后的哈希值。
定义 \(h(s,bas)\) 为蝴蝶变换后的哈希值，考虑倍增地求蝴蝶变换后的哈希值。
我们想，假设我们 \([0,2^k)\) 和 \([2^k,2^{k+1})\) 的哈希值已经处理好了，现在要合并。
\([0,2^k)\) 的数都要挪到 \(\times 2\) 的位置，\([2^k,2^{k+1})\) 要挪到 \(\times 2+1\) 的位置。
那么，\(h(s_1+s_2,bas)=h(s_1,bas^2)+bas\times h(s_2,bas^2)\)。和 NTT 是不是有点类似。
最后比较原哈希值和 \(h\) 即可。

D

维护序列，支持单点修改，区间查询前 \(k\) 大子区间和的和。
\(\sum k\le 3e5,n\le 1e5\)。

这是超级钢琴。考虑原来的做法是堆里维护每个右端点其左边还剩下的端点区间。
这显然不算优。考虑堆里维护当前还剩左端点在 \([l,r]\)，右端点在 \([x,y]\) 的答案。
若 \(l=x,r=y\)，就是最大子段和；若 \([l,r]\cap [x,y]=\empty\)，分别取 rmq 计算即可。
考虑分割这些矩形即可。