2024.8.3 test

A

有序列 \(A\)，你可进行若干次操作：选定 \(A_i,A_j\)，使 \(A_i=\gcd(A_i,A_j)\)，\(A_j=lcm(A_i,A_j)\)。
\(n,A_i\le 10^6\)。

把每个质因数独立开，发现无论怎么操作，每个数某质因数的次数的集合不变。
所以贪心地，从大往小放置 \(A_1\sim A_n\)。

B

无向图上，\(n\le 20\)，你要随机起点走 \(d\) 步，问方案数，使得把 \(S\) 中集合的点全部经过。
\(d\le 10^9,|S|\le 7\)。

经过 \(S\) 中每个点需要记录 \(2^7\) 的状态，然而不经过 \(S\) 中的点是可以直接删点的。
所以我们容斥，钦定不经过哪些点计算方案数，矩阵快速幂。
或者另一种想法是 min-max 容斥，记 \(f_u\) 表是否经过，我们即求 \(\min_S(f_u)=1\) 的方案数。
而 \(\max_T(f_u)=1\) 的方案数只要经过其中一个点即可。

C

\(n\) 个点，有若干个白点，求生成树个数，使得所有是白点且存在相邻的点是白点的点的权值和 \(\le m\)。
\(n\le 40,A_i,m\le 1e9\).

先枚举有多少个点是白点且存在相邻的点是白点的点，即白点连成大小大于 \(1\) 连通块大小之和。
由于点是带标号的，设 \([1,k],[k+1,s],[s+1,n]\) 分别代表上述点，是白点但非上述点，非白点的区间。
设这三种点为 \(ABC\)。考虑用矩阵树定理来做，\(A\) 向 \(AC\) 建边，\(B\) 向 \(C\) 建边。
这样求出来有一个问题，也就是不保证 \([1,k]\) 中不是每个点都是上述点。
可以使用容斥原理，\(Ans_k=T_k-\sum_{i=0}^{k-1}C_k^iAns_i\).
最后因为 \(n\le 40\)，不妨折半搜索，分别枚举两个集合中选了多少个，然后双指针。

D

维护一棵树，边权 01，每次修改一个边权，或查询一个点距离不超过 \(1\) 的点数。

线段树分治。现在要维护每个连通块的邻边集合，支持合并连通块。
维护树上邻边的集合只需要直到父亲集合的大小和儿子的大小和，每次修改只需更新父亲。
这个好像是非常简单，但是唐诗了。