2024.7.29 test

A

给出 $n,m$，你要求对于所有长度为 $n$ 的非负整数序列 $A,B$ 中，满足 $\sum A_i=\sum B_i=m$，
求 $(\sum |A_i-B_i|{)}^2$ 的总和。$n\le 500,m\le {10}^5$。

首先我们发现 $\sum (A_i-B_i)=0$，所以 $\sum |A_i-B_i|=2\sum _{A_i<B_i}{B}_i-A_i$。
我们把序列分为两部分，一部分是 $A_i\ge B_i$ 的，另一部分是 $A_i<B_i$ 的。
枚举第一部分有多少个数，并枚举 $j=\sum _{A_i<B_i}{B}_i-A_i$ 的值，插板并组合起来即可。
要是最后和不等于 $m$ 怎么办？对于 $A_i\ge B_i$ 的，我们令 $B_i=0$，$A_i<B_i$ 的令 $A_i=0$。
那么我们把多出来 $m-j$ 的部分分配给 $n$ 个位置即可。

B

$n$ 个点的有向图，时刻 $t_i$ 在某个点出现一个人，共 $m$ 个人，每个人在每个时刻随机游走。
问对于 $1\sim T$ 每个时刻第 $n$ 个节点的期望人数。$n\le 70,m\le {10}^4,T\le 2\times {10}^6$。

我们发现每个时刻的答案都需要求出。但是从 $t$ 到 $t+1$ 是要 $O(n^2)$ 的转移的。不如写成矩阵形式。
考虑把若干个一起转移，那么我们分块，块长为 $B$，那么预处理出 $M^1\sim M^B$ 转移矩阵。
从 $kB$ 转移到 $(k+1)B$ 是向量乘矩阵是 $O(n^2)$ 的。
注意到我们是单点查值，而单点查询是 $O(n)$ 的。所以复杂度是 $O(n^{3}B+n^2\frac{T}{B})\ge O(n^{5/2}\times T^{1/2})$.
那么 $m$ 个人怎么办，我们从这 $m$ 个点开始再做一遍 $M^1\sim M^B$ 的转移。

C

在平面上，初始位于 $(0,0)$，沿着给定长度为 $n$ 的轨迹（支持上下左右走）走到 $(a,b)$，并重复走 $k$ 次。
问最后经过多少个不同的点，$n\le {10}^5,k\le {10}^{12}$。

我们考虑哪些点会重复，设第一次经过的点有 $(x,y)$，那么 $(x+ka,y+kb)$ 的点也会被走到。
我们要求有多少种等价的点，等价的点是满足 $(x_1,y_1)=(x_0+ka,y_1+kb)$ 的。
如何求这个，不如把所有点按 $(xmoda,ymodb)$ 归类即可。

D

给定序列 $B$，维护序列 $A$，支持区间赋值，区间查询 $min\frac{lcm(A_i,B_i)}{gcd(A_i,B_i)}$。$n,q,A_i,B_i\le {10}^5$。

我们要求的就是 $min\frac{ab}{\stackrel{2}{gcd}(a,b)}$.
考虑分块，现在要考虑的是把一个块内的 $A_i$ 都改成 $v$，维护答案。
那么我们枚举 $gcd$，一个桶内维护 $M{n}_d$ 表示有 $d$ 因子的最小值即可。