2024.7.28 test

A

你有长度为 \(2n\) 的排列，每次操作是：把 \(a_1,a_2,...,a_{2n}\) 变成 \(a_1,a_{n+1},a_2,a_{n+2},...,a_{n},a_{2n}\)。
问多少次操作后序列回到最初的状态。\(n\le 10^{14}\)。

我们先把 \(1\) 开始标号改成 \(0\) 开始。那么操作是这样的：
若 \(x<n\)，那么移动到 \(2x\)，若 \(x\ge n\)，那么移动到 \(2(x-n)+1=2x-(2n-1)\).
我们的操作需要分讨是及其麻烦的，所以我们尝试把操作归为同类。
发现取模 \(2n-1\) 即可，那么现在只需要求 \(2^{t}=1\pmod {2n-1}\) 的最小正整数解。
我们枚举 \(\varphi(2n-1)\) 的约数即可。

B

对于序列 \(A,B\)，你可以对序列 \(A\) 进行若干次操作，每次你可以选定一个 \(A_u\)，使 \(A_u\gets \otimes_{i=1}^n A_i\)。
问最少多少次操作使得 \(A=B\)。\(n\le 10^5\)。

我们发现每次操作就是交换 \(A_u\) 和异或和。
我们把置换环建出来，如果有相同的权值就合并两个环。每个环的代价是大小 \(+1\)。
我们用并查集维护这个过程。
还要注意的是如果一开始异或和存在于 \(B\) 中，那么答案 \(-1\)。

C

在一棵树上随机黑白染色，问白点的最长距离和黑点的最长距离的最大值的期望。\(n\le 10^5\)。

我们先考虑 \(n\le 10^3\)，我们拆贡献枚举这个最大值是多少，设最大值为 \(s\)。
那么距离 \(\le s\) 的点对是可以随便填黑白的，但是 \(>s\) 的点对必须满足颜色不同，这是个二分图染色。
现在考虑正解，由于是最长的距离，我们先把直径拿出来，如果两端颜色相同那么答案就是直径。
我们默认直径两端颜色不同。那么新的最长的距离是多少呢？
根据树的直径的性质，新的最长的距离一定有一个端点是直径的端点。
于是求出 \(f_k\) 表示答案 \(\le k\) 的方案数，那么距离两个端点都 \(\le k\) 的点可以随便填。
答案 \(=k\) 的方案数差分一下即可。

D

在树上你要从 \(1\) 走到 \(n\)，移动的方式是拿出一个点 \(u\)，并向 \(u\) 的方向移动一步。
问最少经过的点集大小最小是多少。\(n\le 1e5\)。

与绝对众数有关。