2024.7.28 test

A

你有长度为 $2n$ 的排列，每次操作是：把 $a_1,a_2,...,a_{2n}$ 变成 $a_1,a_{n+1},a_2,a_{n+2},...,a_n,a_{2n}$。
问多少次操作后序列回到最初的状态。$n\le {10}^{14}$。

我们先把 $1$ 开始标号改成 $0$ 开始。那么操作是这样的：
若 $x<n$，那么移动到 $2x$，若 $x\ge n$，那么移动到 $2(x-n)+1=2x-(2n-1)$.
我们的操作需要分讨是及其麻烦的，所以我们尝试把操作归为同类。
发现取模 $2n-1$ 即可，那么现在只需要求 $2^t=1(\mathrm{mod}2n-1)$ 的最小正整数解。
我们枚举 $\phi (2n-1)$ 的约数即可。

B

对于序列 $A,B$，你可以对序列 $A$ 进行若干次操作，每次你可以选定一个 $A_u$，使 $A_u\leftarrow {\otimes }_{i=1}^n{A}_i$。
问最少多少次操作使得 $A=B$。$n\le {10}^5$。

我们发现每次操作就是交换 $A_u$ 和异或和。
我们把置换环建出来，如果有相同的权值就合并两个环。每个环的代价是大小 $+1$。
我们用并查集维护这个过程。
还要注意的是如果一开始异或和存在于 $B$ 中，那么答案 $-1$。

C

在一棵树上随机黑白染色，问白点的最长距离和黑点的最长距离的最大值的期望。$n\le {10}^5$。

我们先考虑 $n\le {10}^3$，我们拆贡献枚举这个最大值是多少，设最大值为 $s$。
那么距离 $\le s$ 的点对是可以随便填黑白的，但是 $>s$ 的点对必须满足颜色不同，这是个二分图染色。
现在考虑正解，由于是最长的距离，我们先把直径拿出来，如果两端颜色相同那么答案就是直径。
我们默认直径两端颜色不同。那么新的最长的距离是多少呢？
根据树的直径的性质，新的最长的距离一定有一个端点是直径的端点。
于是求出 $f_k$ 表示答案 $\le k$ 的方案数，那么距离两个端点都 $\le k$ 的点可以随便填。
答案 $=k$ 的方案数差分一下即可。

D

在树上你要从 $1$ 走到 $n$，移动的方式是拿出一个点 $u$，并向 $u$ 的方向移动一步。
问最少经过的点集大小最小是多少。$n\le 1e5$。

与绝对众数有关。