2024.7.27 test

A

有 \(n\) 个火炬，分为寒冰的和火炬的，你要在这 \(n\) 个火炬前放置豌豆射手，给出每个豌豆射手的伤害。
求对于所有区间 \([l,r]\)，在这些火炬前自由放置豌豆，到达最后一个火炬之后最大伤害的和。
其中如果最后是火炬/寒冰的豌豆伤害翻倍。\(n\le 1e6\)。

注意到如果有两个相邻的火炬/寒冰射手，那么前面的豌豆无论如何伤害都相同。
那么我们把相邻的火炬/寒冰都缩成段，剩下的都是交替出现的。
我们往后扫右端点，左边是先是交错的，再往前是相同的，发现剩下的都可以直接算出来。

B

在 \(n\times m\) 的草坪上，有若干大蒜，僵尸从右边开始走，询问每个 \(i\) ，第 \(i\) 行开始走最后能到多少行。
满足一列中不存在连续的三个大蒜。\(n,m\le 3000\)。

这是个 DAG 上求到达点集的问题，最优也是 \(O(n^3/\omega)\)。考虑挖掘性质。
我们考虑从终点往回推，注意到满足一列中不存在连续的三个大蒜，那么能到的行一定是一个区间。
证明是：设我们当前能到的只有一行，如果当前上/下方有一个大蒜，那么我们可以推到到上/下方这行。
如果要使得变成间隔开的两行，那么必须满足当前有三个连续的大蒜，是不合法的。
如果当前已经是区间了，那么更无法割裂这个区间。
所以逐个往回推即可，复杂度 \(O(nm)\)。

C

有一棵树，初始每个节点上有一个尖刺。\(m\) 次操作，每次给定一个点 \(x\)，所有尖刺向 \(x\) 移动 \(d\) 的距离。
每次操作完后，查询有多少个节点上有尖刺。\(n,m\le 5e5\)

不难发现有尖刺的点构成一个联通块，每次移动 \(1\) 的距离相当于删掉叶子，并新加一个点。
那么，总共的删叶子的次数是 \(O(n+m)\)，直接暴力维护即可。

D

有 \(n\) 条从 \(y=0\) 出发的射线，\(k>0\)。有 \(m\) 个屏障，位于 \((x,y_1\sim y_2)\)，你要求每个射线是否穿过屏障。
\(n,m\le 8e4\)。

考虑 \(n\) 比较小怎么做，计算出所有射线的交点，就可以在 \(x\) 增大的同时维护所有射线当前大小关系。
那么我们对于每个屏障，在当前已经维护好的序列上二分即可。
那么 \(n\) 比较大，考虑分块，分成 \(\dfrac{n}{B}\) 块，每块都做一遍上面的过程就行了。
复杂度 \(O((B^2+m)\dfrac{n}{B}\log n)\le O(n\sqrt n\log n)\)。