2024.7.16 test

7.16

A

给定 \(m=\frac{n(n+1)}{2}\) 个线段，分别为 \([l,r]\)，其中 \(1\le l\le r \le n\)，两两不同，每条线段选或不选，总共 \(2^m\) 种情况中，问最多能选出 \(k\) 条互不相交的线段的方案数，\(n,k\le 500\)。

这是一个贪心的过程。设 \(f_{i,j}\) 表示当前填了最的右端点为 \(i\)，已经填了 \(j\) 个区间的方案数。
那么我们想，从 \(i\) 转移到 \(k\)，贡献是怎么算的，首先左右端点在 \([i+1,k-1]\) 里的都不能选，
其次，左端点在 \([i+1,k]\)，且右端点为 \(k\) 的至少选一个，贡献 \(2^{k-i}-1\)。
再然后，穿过了 \(i\) 这个点的线段就可以随便选了，无论怎么选对答案都没有影响，贡献 \(2^{i\times(k-i)}\)。
最后，\(f_{i,k}\) 对答案的贡献是 \(2^{i\times(n-i)}\)。

B

给定 \(k\le 100\) 个两两互质的数，问在 \([1,n]\) 区间里有多少数能被这 \(k\) 个数中任一数整除。\(n\le 10^{13}\).

我们直接暴力上 dfs+容斥，可以跑过 \(n\le 10^{11}\) 级别的数据。
但是其实这样做是有重复的状态的，如果 \(x,y\) 满足 \(n/x=n/y\)（整除），那么 \(x,y\) 是可以合并的。
考虑 dp，设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数，在 \([1,j]\) 里有多少个数能被整除。
那么 \(dp_{i,n}=dp_{i-1,n}+n/a_i-dp_{i-1,n/a_i}\)，这是跟容斥的式子一样的。
我们这样设是把所有重复的状态合并了的，状态数是 \(O(k\sqrt n)\)，就这样。
具体的实现可以时间换空间。

C

你要维护一个 01 序列，每次把一个区间的数全部取反，并询问这个区间最长的 \(0...01...1\) 串的长度。\(n,m\le 5e5\).

线段树，在每个节点存储：左侧第一个极长颜色段及其颜色，左侧第二个极长颜色段，右侧第一个极长颜色段及其颜色，右侧第二个极长颜色段，区间内最长的 \(01\) 串，区间内最长的 \(10\) 串（供翻转用）。

D

一个无限序列 \(s\) 如此构造，一开始序列为空，每次把前 \(k\) 小的序列中没出现过的数插入序列末尾，并把这 \(k\) 个数的和也插入序列末。\(T=1e5\) 次询问，给定 \(k\)，问 \(n\) 在序列出现的位置。\(n\le 1e18,k\le 100\).